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如图,在△ABC中,已知∠A=90°时,AD⊥BC于D,E为直角边AC的中点,过D、E作直线交AB的延长线于F.求证:A

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 06:29:16
如图,在△ABC中,已知∠A=90°时,AD⊥BC于D,E为直角边AC的中点,过D、E作直线交AB的延长线于F.求证:AB•AF=AC•DF.
证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴△CBA∽△ABD,

AB
BD=
AC
AD,
∴AB:AC=BD:AD①,
∴∠C=∠FAD,
又∵E为AC的中点,AD⊥BC,
∴ED=
1
2AC=EC,
∴∠C=∠EDC,
又∵∠EDC=∠FDB,
∴∠FAD=∠FDB,∠F为公共角,
∴△DBF∽△ADF,
∴BD:AD=DF:AF②,
由①②得,
AB
AC=
DF
AF,
∴AB•AF=AC•DF.