作业帮根号1+x^2的不定积分
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 05:00:56
根号1+x^2的不定积分
令x=tant,t∈(-π/2,π/2),则√(1+x²)=sect,dx=sec²tdt
∫√(1+x²) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)
=sect*tant-∫tan²t*sectdt
=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt
=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt
∴∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C
∴原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C
C为任意常数
∫√(1+x²) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)
=sect*tant-∫tan²t*sectdt
=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt
=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt
∴∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C
∴原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C
C为任意常数