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设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)[a(n+1)]^2-n(an)^2+a(n+1)an=0(n=1,2,3…

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 00:41:36
设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)[a(n+1)]^2-n(an)^2+a(n+1)an=0(n=1,2,3……),则它的通项公式是?
(n+1)[a(n+1)]^2-n(an)^2+a(n+1)an=0
=>〔(n+1)a(n+1)-n*an〕*[a(n+1)+an]=0 (分解因式)
因为{an}是首项为1的正项数列 所以a(n+1)+an>0
所以:(n+1)a(n+1)-n*an=0
所以:a(n+1)/a(n)=n/(n+1)
=> an/a(n-1)=(n-1)/n
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/(n-1)
.
.
.
a3/a2=2/3
a2/a1=1/2
把各式相乘得到:an/a1=1/n
而有题目知道:a1=1
所以:an=1/n
即数列的通项公式是:an=1/n