作业帮线性代数中的正交矩阵4
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 23:29:22
线性代数中的正交矩阵4
设向量a=(4 2 2),b=（2 4 2 ）c=（2 2 4）A是由向量a,b,c组成的矩阵,试求一个正交矩阵V,使得V的逆矩阵乘以矩阵A再乘以V是对角矩阵
设向量a=(4 2 2),b=（2 4 2 ）c=（2 2 4）A是由向量a,b,c组成的矩阵,试求一个正交矩阵V,使得V的逆矩阵乘以矩阵A再乘以V是对角矩阵
根据特征方程|λE-A|=0 （E为单位矩阵）,解得矩阵A的特征值分别为：
λ1=8,λ2=λ3=2（二重特征值）
把λ1=8代入特征方程,由（8E-A)x=0,解得对应λ1=8的特征向量为
x1=(1,1,1)^T (其中^T表示转置）
将x1规范化：ε1=(1/√3)(1,1,1)^T
把λ2=λ3=2代入特征方程,由（2E-A)x=0,解得对应λ2=λ3=2的特征向量为
x2=(-1,1,0)^T,x3=(-1,0,1)^T
施密特正交化得：α2=x2=(1,-1,0)^T
α3=x3-(＜α2,x3＞/＜α2,α2＞)α2
=(-1/2,-1/2,1)^T
规范化得：ε2=(1/√2)(-1,1,0)^T ,ε3=(1/√6)(-1,-1,2)^T
令V=（ε1,ε2,ε3),则 V(逆)*A*V=∧(对角矩阵)
其中 V= 1/√3 -1/√2 -1/√6
1/√3 1/√2 -1/√6
1/√3 0 2/√6
λ1=8,λ2=λ3=2（二重特征值）
把λ1=8代入特征方程,由（8E-A)x=0,解得对应λ1=8的特征向量为
x1=(1,1,1)^T (其中^T表示转置）
将x1规范化：ε1=(1/√3)(1,1,1)^T
把λ2=λ3=2代入特征方程,由（2E-A)x=0,解得对应λ2=λ3=2的特征向量为
x2=(-1,1,0)^T,x3=(-1,0,1)^T
施密特正交化得：α2=x2=(1,-1,0)^T
α3=x3-(＜α2,x3＞/＜α2,α2＞)α2
=(-1/2,-1/2,1)^T
规范化得：ε2=(1/√2)(-1,1,0)^T ,ε3=(1/√6)(-1,-1,2)^T
令V=（ε1,ε2,ε3),则 V(逆)*A*V=∧(对角矩阵)
其中 V= 1/√3 -1/√2 -1/√6
1/√3 1/√2 -1/√6
1/√3 0 2/√6