在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 06:44:01

在边长是2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA₁D₁D；
（3）证明：EF⊥平面A₁CD．

（1）如图建立空间直角坐标系，则A₁（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），D（0，0，0），
∵E，F分别为AB，A₁C的中点，∴E（2，1，0），F（1，1，1），

EF=（-1，0，1），
∴|

EF|=
1+0+1=
2．
（2）∵

AD1=（-2，0，2）=2

EF，∴EF∥AD₁，
又AD₁⊂平面AA₁D₁D，EF⊄平面AA₁D₁D，
∴EF∥平面AA₁D₁D．
（3）

CD=（0，-2，0），

A1D=（-2，0，-2），
∵

CD•

EF=0，

EF•

A1D=0，∴EF⊥CD，EF⊥A₁D，又CD∩A₁D=D，
∴EF⊥平面A₁CD．