作业帮高一数学立体几何有关表面积的题 .
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 08:14:40
高一数学立体几何有关表面积的题 .
在四面体ABCD中,截面AEF刚好过四面体ABCD的内切球的球心,被截 ∨A-BEFD=∨A-EFC,四棱锥A-BEFD的表面积记为S1 ,三棱锥A-EFC的表面积记S2 .
求证 S1=S2 ..
在四面体ABCD中,截面AEF刚好过四面体ABCD的内切球的球心,被截 ∨A-BEFD=∨A-EFC,四棱锥A-BEFD的表面积记为S1 ,三棱锥A-EFC的表面积记S2 .
求证 S1=S2 ..
如图
设四面体ABCD的表面积为S,那么：S1+S2=S…………………（1）
设四面体ABCD的内切球半径为R,分别连接OA、OB、OC、OD(为清晰起见,图中未连).则又得到四个三棱锥：O-ABC、O-ABD、O-ACD、O-BCD
根据“椎体的体积=(1/3)*底面积*高”,得到：
四面体ABCD的体积V(A-BCD)=V(O-ABC)+V(O-ABD)+V(O-ACD)+V(O-BCD)
=(1/3)*S△ABC*R+(1/3)*S△ABD*R+(1/3)*S△ACD*R+(1/3)*S△BCD*R
=(1/3)*(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD)*R
=(1/3)S*R……………………………………………………（2）
同理,分别连接AO、OB、OD、OE、OF,得到0-ABD、O-ABE、O-ADF、O-BEFD四个棱锥,那么根据上面的过程有：
四棱锥A-BEFD的体积V(A-BEFD)=(1/3)S1*R………………（3）
而已知V（A-BEFD）=V（A-EFC）,所以：
V(A-BEFD)=(1/2)V(A-BCD)
将(2)(3)代入上式,得到：
(1/3)S1*R=(1/2)*[(1/3)S*R]
===> S1=S/2…………………………………………………（4）
联立(1)(2)得到：
S1=S2=S/2
设四面体ABCD的表面积为S,那么：S1+S2=S…………………（1）
设四面体ABCD的内切球半径为R,分别连接OA、OB、OC、OD(为清晰起见,图中未连).则又得到四个三棱锥：O-ABC、O-ABD、O-ACD、O-BCD
根据“椎体的体积=(1/3)*底面积*高”,得到：
四面体ABCD的体积V(A-BCD)=V(O-ABC)+V(O-ABD)+V(O-ACD)+V(O-BCD)
=(1/3)*S△ABC*R+(1/3)*S△ABD*R+(1/3)*S△ACD*R+(1/3)*S△BCD*R
=(1/3)*(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD)*R
=(1/3)S*R……………………………………………………（2）
同理,分别连接AO、OB、OD、OE、OF,得到0-ABD、O-ABE、O-ADF、O-BEFD四个棱锥,那么根据上面的过程有：
四棱锥A-BEFD的体积V(A-BEFD)=(1/3)S1*R………………（3）
而已知V（A-BEFD）=V（A-EFC）,所以：
V(A-BEFD)=(1/2)V(A-BCD)
将(2)(3)代入上式,得到：
(1/3)S1*R=(1/2)*[(1/3)S*R]
===> S1=S/2…………………………………………………（4）
联立(1)(2)得到：
S1=S2=S/2