设fx是定义在R上的函数,对任意的X,Y∈R都有F(x+y）=f(x)*f(y),当且仅当x>0时,0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 17:59:05

设fx是定义在R上的函数,对任意的X,Y∈R都有F(x+y）=f(x)*f(y),当且仅当x>0时,0
（1）求证f(0)=1 (2）当时x

（1)
由题意f(1)=f(1+0)=f(1)f(0),因为f(1)≠0,所以f(0)=1
（2)
对任意x0,所以 0
再问： (3)判断函数f（x）在R上的单调性，并证明：（4）设x1 x2∈R，试比较（f（x1）+f（x2））/2与f（（x1+x2）/2）的大小不好意思，昨天忘打了。
再答：（3）设x11 所以f(x1)>f(x2) 所以函数f（x）在R上是减函数。（4） f（x1）+f（x2）- 2f（（x1+x2）/2） = [ f(x1/2) ]^2 + [ f(x2/2) ]^2 - 2f(x1/2) f(x1/2) =[ f(x1/2) - f(x1/2) ]^2 ≥0 即（f（x1）+f（x2））/2 ≥ f（（x1+x2）/2）
再问：第4问是什么啊？
再答：作差比较大小 f（x1）=f（x1/2 + x1/2）= [ f(x1/2) ]^2 f（x2）=f（x2/2 + x2/2）= [ f(x2/2) ]^2 2f（（x1+x2）/2）= 2f(x1/2) f(x1/2) 所以 f（x1）+f（x2）- 2f（（x1+x2）/2） = [ f(x1/2) ]^2 + [ f(x2/2) ]^2 - 2f(x1/2) f(x1/2) =[ f(x1/2) - f(x1/2) ]^2 ≥0 即（f（x1）+f（x2））/2 ≥ f（（x1+x2）/2）