设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R有f（x+y)=f(x)+f(y0,且当x>0时,恒有f(x)>0若f(1)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 09:28:49

设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R有f（x+y)=f(x)+f(y0,且当x>0时,恒有f(x)>0若f(1)=2.
（1）f(0)=?
（2）判断该函数的奇偶性
（3）求证：X∈R时,f(x)为单调递增函数
（4）解不等式f（3x-6)>6

(1)在f（x+y)=f(x)+f(y)中令x=y=0得：f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0
(2)在f（x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x得：f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)+f(-x)=0,即-f(x)=f(-x),所以f(x)是奇函数
(3)因为当x>0时,恒有f(x)>0,即当x>0时,恒有f(x)>f(0),所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,而f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上也是单调递增函数,因此X∈R时,f(x)为单调递增函数
(4)在f（x+y)=f(x)+f(y)中令x=y=1得：f(2)=f(1)+f(1),所以f(2)=4
在f（x+y)=f(x)+f(y)中令x=2,y=1得：f(3)=f(2)+f(1),所以f(3)=6
所以不等式f（3x-6)>6变为f（3x-6)>f(3),因为X∈R时,f(x)为单调递增函数,所以有3x-6>3,即
x>3