作业帮函数y=xcosx在（-∞,+∞）内是否有界?这个函数是否为x→+∞时的无穷大?为什么
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 16:42:47
函数y=xcosx在（-∞,+∞）内是否有界?这个函数是否为x→+∞时的无穷大?为什么
因为反写A M>0,X>0,总有x0∈(X,+∞),使cosx0=0,从而y=x0cosx0=0
因为反写A M>0,X>0,总有x0∈(X,+∞),使cosx0=0,从而y=x0cosx0=0
x→＋∞时,f(x)是无穷大的定义是：对于任意大的正数M,存在正数X,对于任意的x＞X,恒有|f(x)|＞M.
分析：x很大时,始终存在使得cosx=0的x,所以|f(x)|＞M不可能恒成立.
把无穷大的定义否定,得到“不是无穷大”的定义：存在正数M,对于任意的正数X,存在x＞X,但是|f(x)|≤M.
对于正数M=1,不管正数X多大,存在正整数n,使得nπ+π/2＞X,但|f(nπ+π/2)|=0＜1.所以f(x)=xcosx不是x→＋∞时的无穷大.
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一般对于无界、无穷大可以使用函数极限与数列极限的关系来说明：如果存在数列Xn,使得f(Xn)是无穷大,则f(x)无界.如果存在数列yn,使得f(yn)的极限有限,则f(x)不是无穷大.
再问： 为什么|f(nπ+π/2)|=0，是因为y=x0cosx0=0吗，还有nπ+π/2是怎么出来的？，谢谢你
再答： 这时候cosx=0嘛。 x→∞的过程中，有无穷多个x使得cosx=0，f(x)=0。不管x多大。这样的x总是存在的，找一个就是了
分析：x很大时,始终存在使得cosx=0的x,所以|f(x)|＞M不可能恒成立.
把无穷大的定义否定,得到“不是无穷大”的定义：存在正数M,对于任意的正数X,存在x＞X,但是|f(x)|≤M.
对于正数M=1,不管正数X多大,存在正整数n,使得nπ+π/2＞X,但|f(nπ+π/2)|=0＜1.所以f(x)=xcosx不是x→＋∞时的无穷大.
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一般对于无界、无穷大可以使用函数极限与数列极限的关系来说明：如果存在数列Xn,使得f(Xn)是无穷大,则f(x)无界.如果存在数列yn,使得f(yn)的极限有限,则f(x)不是无穷大.
再问： 为什么|f(nπ+π/2)|=0，是因为y=x0cosx0=0吗，还有nπ+π/2是怎么出来的？，谢谢你
再答： 这时候cosx=0嘛。 x→∞的过程中，有无穷多个x使得cosx=0，f(x)=0。不管x多大。这样的x总是存在的，找一个就是了
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