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如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F．过点E、F分别作⊙O的切线得交点P．求证：CP⊥A

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 14:00:50
如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F．过点E、F分别作⊙O的切线得交点P．求证：CP⊥AB．
证明：如图，连接AE、BF得交点Q，
∵∠AEB=∠AFB=90°，
∴点Q为△ABC的垂心，
∴CQ⊥AB．①
延长FP到点K，使PK=PF，连接EF、KE．易知∠PEF=∠PFE=∠EAF．
连接PQ并延长交AB于点H，
∵∠EQF=180°-∠AQF=180°-（90°-∠EAF）=90°+∠EAF=90°+∠PEF，
∠K=
1
2∠EPF=
1
2 （180°-2∠PEF）=90°-∠PEF，
∴∠EQF+∠K=180°．
故K、F、Q、E四点共圆，
∵PK=PE=PF，
∴P必是该圆的圆心．
∴PQ=PF．
∴∠PQF=∠PFQ=∠PFB=∠FAB=∠FAH，
∴A、H、Q、F四点共圆．
则∠PHA=∠QHA=180°-∠QFA=90°，
∴PH⊥AB，即PQ⊥AB．②
由①、②知，C、P、Q三点共线，
∴CP⊥AB．
如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F．过点E、F分别作⊙O的切线得交点P．求证：CP⊥A 如图,以△ABC的边BC为直径作圆O分别交AB、AC于点F点E,AD⊥BC于D,AD交于圆O于M,交BE于H,求证：DM 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F． 已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F． 已知：如图，以△ABC的一边BC为直径作半圆，交AB于E，过E点作半圆O的切线恰与AC垂直，试确定边BC与AC的大小关系 如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G 已知，如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G交BC的延长线于F． 如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O的切线，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F． 如图,已知等腰三角形abc中,ab＝ac,以ab为直径的圆O分别交ac,bc于点f,d,过d作圆O的切线交fc于e,若a 如图,等腰△ABC,AB=AC,以AB为直径作圆O分别交AC,BC于D,E两点,过B点的切线交OE的延长线于点F,连结F 如图，以三角形ABC的一边AB为直径作圆O，圆O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作圆O的切线交AC边于点E。 （ 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交A