已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为____
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 12:17:15
已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为______.
设切点为(a,a3-3a),
∵f(x)=x3-3x,
∴f'(x)=3x2-3,
∴切线的斜率k=f′(a)=3a2-3,
由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a),
∵切线过点A(1,m),
∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m,
∵过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,
∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有三个不同的根,
令g(x)=2x3-3x2,
∴g′(x)=6x2-6x=0,解得x=0或x=1,
当x<0时,g′(x)>0,当0<x<1时,g′(x)<0,当x>1时,g′(x)>0,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,
当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1,
关于a的方程2a3-3a2=-3-m有三个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有三个不同的交点,
∴-1<-3-m<0,
∴-3<m<2,
∴实数m的取值范围为(-3,2).
故答案为:(-3,-2).
∵f(x)=x3-3x,
∴f'(x)=3x2-3,
∴切线的斜率k=f′(a)=3a2-3,
由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a),
∵切线过点A(1,m),
∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m,
∵过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,
∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有三个不同的根,
令g(x)=2x3-3x2,
∴g′(x)=6x2-6x=0,解得x=0或x=1,
当x<0时,g′(x)>0,当0<x<1时,g′(x)<0,当x>1时,g′(x)>0,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,
当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1,
关于a的方程2a3-3a2=-3-m有三个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有三个不同的交点,
∴-1<-3-m<0,
∴-3<m<2,
∴实数m的取值范围为(-3,2).
故答案为:(-3,-2).
已知f(x)=x3-3x,过点A(1,m) (m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围是(
已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为____
已知f(x)=x3-3x,过A(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,则m的取值范围是______.
已知f(x)=X³-X,若过点(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线 求m取值范围
已知函数f(x)=x^3-3x.若过点M(2,m)(n ≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=x3-3x,若过A(1,m)可做曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=x^3+2x若过点P(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m取值范围
设函数f(x)=x∧3-3x.若过点M(2,m)(m≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求m的范围 要过程啊!
已知f(x)=x^3-3x,若过点(1,m)且m不等于-2,可做曲线y=f(x)的三条切线,求m取值范围.
已知f(x)=X³-X,若过点(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求m的取值范围
已知函数f(x)=-x^3+6x-9x,若过点p(-1,m)可作曲线y=f(x)=的切线有三条,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=e∧x+a,若过点A(1,0)可向曲线y=f(x)引两条切线,则实数a的取值范围是