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如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,D为AB中点,E,F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证:AE^2+BF

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 04:35:14
如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,D为AB中点,E,F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证:AE^2+BF^2=EF^2
巨难,好的再加
解一:
证明:
以D为圆点,DB为半径,将DB边逆时针旋转180度,此时BD边和AD边重合
B点和A点重合,记F点旋转到F'
∴AF'=FB,DF=DF',∠ADF'=∠FDB
∵D是AB边的中点,
∴此时B点和A点重合
∵Rt△ABC中,∠C是Rt角
∴∠A和∠B互余
∴∠CAF'=90度
∴在Rt△AEF'中,AE方+F'B方=EF'方
∵DF=DF',且∠ADF'=∠FDB
∴ED垂直平分FF'
∴EF=EF'
∴AE方+AF'方=AE方+FB方=EF'方=EF方
命题得证
解二:
连接EF、DE、DF.作辅助线CD
证明△ADE全等于△CDF
因为∠EAD=∠FCD=45 AD=CD ∠EDA=∠FDC
所以△ADE全等于△CDF
所以AE=CF 又因AC=BC 所以CE=BF
因为CF的平方+CE的平方=EF的平方
所以AE的平方+BF的平方=EF的平方