作业帮高数等价无穷小问题（能不能把函数内的函数等价成无穷小）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 09:29:15
高数等价无穷小问题（能不能把函数内的函数等价成无穷小）
如：当x趋向0时,求Ln（tan2x)/Ln(tan7x)的极限,请问我能否先把括号里面的等价无穷下成Ln(2x)/Ln(7x),然后再洛比达.对于此例,答案为1是对的,我想知道是不是任意函数内的函数是否可以等价为无穷小（注意不是两函数相乘,而是函数内）,如果不能,能否举个反例.能,给下理由.注意：我问的和这种是不一样的,当x趋向0时,sin(sin2x)等价于2x,因为这种是函数从外到内,而我问的是从内到外的.不知大家能不能明白我的所问.呵呵
如：当x趋向0时,求Ln（tan2x)/Ln(tan7x)的极限,请问我能否先把括号里面的等价无穷下成Ln(2x)/Ln(7x),然后再洛比达.对于此例,答案为1是对的,我想知道是不是任意函数内的函数是否可以等价为无穷小（注意不是两函数相乘,而是函数内）,如果不能,能否举个反例.能,给下理由.注意：我问的和这种是不一样的,当x趋向0时,sin(sin2x)等价于2x,因为这种是函数从外到内,而我问的是从内到外的.不知大家能不能明白我的所问.呵呵
关于等价无穷小替换的问题,不要背结论,要知道原理,尤其是做对了也要知道为什么是对的,否则跟猜对的没什么区别.
对于你给的具体问题,要注意x->0+时
lim ln(tan2x)/ln(2x) = 1 + lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) = 1
所以才能导致等价无穷小的替换.
当然,我认为这样的替换没什么价值,证明可以替换的难度和原问题相当,只不过是便于你使用L'Hospital法则而已,但这类问题根本不需要用L'Hospital法则就能解决.
再把你的问题抽象一下,在某个变化趋势(比如x->a)下,lim f(x)/g(x)=1,h(x)具有一定的连续性,那么是否可以保证lim h(f(x))/h(g(x))=1也成立?
一般来讲结论是不对的,给你个反例：
x->0时,f(x) = 1/x^4,g(x) = 1/x^4+1/x^2,h(x) = e^x
如果你一定要无穷小量而非无穷大量也可以,比如
x->0时,f(x) = x^2,g(x) = x^2+x^4,h(x) = e^{-1/x^2}
再问： 请问x趋向0时， lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) =0，是不是因为ln(tan2x/2x)/ln2x=ln1/ln2x=0/无穷，所以lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) =0，我可以这么理解吗
再答： 可以
对于你给的具体问题,要注意x->0+时
lim ln(tan2x)/ln(2x) = 1 + lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) = 1
所以才能导致等价无穷小的替换.
当然,我认为这样的替换没什么价值,证明可以替换的难度和原问题相当,只不过是便于你使用L'Hospital法则而已,但这类问题根本不需要用L'Hospital法则就能解决.
再把你的问题抽象一下,在某个变化趋势(比如x->a)下,lim f(x)/g(x)=1,h(x)具有一定的连续性,那么是否可以保证lim h(f(x))/h(g(x))=1也成立?
一般来讲结论是不对的,给你个反例：
x->0时,f(x) = 1/x^4,g(x) = 1/x^4+1/x^2,h(x) = e^x
如果你一定要无穷小量而非无穷大量也可以,比如
x->0时,f(x) = x^2,g(x) = x^2+x^4,h(x) = e^{-1/x^2}
再问： 请问x趋向0时， lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) =0，是不是因为ln(tan2x/2x)/ln2x=ln1/ln2x=0/无穷，所以lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) =0，我可以这么理解吗
再答： 可以