作业帮求下列极限
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 10:40:54
求下列极限
原式=limx(e-(1+1/x)^x)/e(1+1/x)^x),分母趋于e^2,现在看分子
limx(e-(1+1/x)^x)
=lim(e-(1+1/x)^x)/(1/x)
用罗比达法则：分母导数为(-1/x^2),先求(1+1/x)^x的导数
设y=(1+1/x)^x,lny=xln(1+1/x),y'/y=ln(1+1/x)+x(1/(1+1/x))(-1/x^2)
y'=y[ln(1+1/x)-1/(1+x)]
limx(e-(1+1/x)^x)
=lim(e-(1+1/x)^x)/(1/x)
=limy[ln(1+1/x)-1/(1+x)]/(1/x^2)
=elim[ln(1+1/x)-1/(1+x)]/(1/x^2)
=elim[(1/(1+1/x)(-1/x^2)+1/(1+x)^2)]/(-2/x^3)
=e/2im[x^2/(1+x)-x^3/(1+x)^2]
=e/2lim[x^2(1+x)-x^3]/(1+x)^2
=e/2
结果为1/2e
limx(e-(1+1/x)^x)
=lim(e-(1+1/x)^x)/(1/x)
用罗比达法则：分母导数为(-1/x^2),先求(1+1/x)^x的导数
设y=(1+1/x)^x,lny=xln(1+1/x),y'/y=ln(1+1/x)+x(1/(1+1/x))(-1/x^2)
y'=y[ln(1+1/x)-1/(1+x)]
limx(e-(1+1/x)^x)
=lim(e-(1+1/x)^x)/(1/x)
=limy[ln(1+1/x)-1/(1+x)]/(1/x^2)
=elim[ln(1+1/x)-1/(1+x)]/(1/x^2)
=elim[(1/(1+1/x)(-1/x^2)+1/(1+x)^2)]/(-2/x^3)
=e/2im[x^2/(1+x)-x^3/(1+x)^2]
=e/2lim[x^2(1+x)-x^3]/(1+x)^2
=e/2
结果为1/2e