已知函数f(x)=14x4+x3−92x2+cx有三个极值点.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 01:47:06
已知函数f(x)=
x
1 |
4 |
(I)因为函数f(x)=
1
4x4+x3−
9
2x2+cx有三个极值点,
所以f'(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根.
设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),
当x<-3时,g'(x)>0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数;
当-3<x<1时,g'(x)<0,g(x)在(-3,1)上为减函数;
当x>1时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上为增函数;
所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值.
当g(-3)≤0或g(1)≥0时,g(x)=0最多只有两个不同实根.
因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)>0且g(1)<0.
即-27+27+27+c>0,且1+3-9+c<0,
解得c>-27,且c<5,故-27<c<5.
(II)由(I)的证明可知,当-27<c<5时,f(x)有三个极值点.
不妨设为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则f'(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3).
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,x1],[x2,x3]
若f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,
则[a,a+2]⊂(-∞,x1],或[a,a+2]⊂[x2,x3],
若[a,a+2]⊂(-∞,x1],则a+2≤x1.由(I)知,x1<-3,于是a<-5.
若[a,a+2]⊂[x2,x3],则a≥x2且a+2≤x3.由(I)知,-3<x2<1.
又f'(x)=x3+3x2-9x+c,当c=-27时,f'(x)=(x-3)(x+3)2;
当c=5时,f'(x)=(x+5)(x-1)2.
因此,当-27<c<5时,1<x3<3.所以a>-3,且a+2≤3.
即-3<a<1.故a<-5,或-3<a<1.反之,当a<-5,或-3<a<1时,
总可找到c∈(-27,5),使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减.
综上所述,a的取值范围是(-∞,-5)∪(-3,1).
1
4x4+x3−
9
2x2+cx有三个极值点,
所以f'(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根.
设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1),
当x<-3时,g'(x)>0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数;
当-3<x<1时,g'(x)<0,g(x)在(-3,1)上为减函数;
当x>1时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上为增函数;
所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值.
当g(-3)≤0或g(1)≥0时,g(x)=0最多只有两个不同实根.
因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)>0且g(1)<0.
即-27+27+27+c>0,且1+3-9+c<0,
解得c>-27,且c<5,故-27<c<5.
(II)由(I)的证明可知,当-27<c<5时,f(x)有三个极值点.
不妨设为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则f'(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3).
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,x1],[x2,x3]
若f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,
则[a,a+2]⊂(-∞,x1],或[a,a+2]⊂[x2,x3],
若[a,a+2]⊂(-∞,x1],则a+2≤x1.由(I)知,x1<-3,于是a<-5.
若[a,a+2]⊂[x2,x3],则a≥x2且a+2≤x3.由(I)知,-3<x2<1.
又f'(x)=x3+3x2-9x+c,当c=-27时,f'(x)=(x-3)(x+3)2;
当c=5时,f'(x)=(x+5)(x-1)2.
因此,当-27<c<5时,1<x3<3.所以a>-3,且a+2≤3.
即-3<a<1.故a<-5,或-3<a<1.反之,当a<-5,或-3<a<1时,
总可找到c∈(-27,5),使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减.
综上所述,a的取值范围是(-∞,-5)∪(-3,1).
已知函数f(x)=14x4+x3−92x2+cx有三个极值点.
已知函数f(x)=1/4x4+x3-9/2x2+cx有三个极值点.证明:-27〈c〈5
已知函数f(x)=14x4−x3+x2+a(0<x≤6).
已知函数f(x)=1/4x^4+x^3-9/2x^2++cx有三个极值点
设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].
(2014•内江三模)已知函数f(x)=13x3-12x2+cx+d有极值,则c的取值范围为( )
如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图像,x1,x2是函数f(x) 的极值点,则x1^2+x2^2等于
已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1的两个极值点为x1,x2,x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],求f(-1)
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2在x=1时有极值6.
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2在x=1处取得极值-1.
急.已知函数f(x)1/4x^4-x^3+15/2x^2++cx有三个极值点求m的取值范围
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的零点x1,x2,x3满足-2