设n是正整数,p是素数,(n,p−1)=k,证明同余方程x^n≡1(mod p)有k个解.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 06:44:58
设n是正整数,p是素数,(n,p−1)=k,证明同余方程x^n≡1(mod p)有k个解.
对素数p,存在原根g.
即g^i ≡ 1 (mod p),当且仅当i是p-1的倍数.
由此,对i = 0,1,2,...,p-2,g^i (mod p)两两不同余,
即mod p恰好取遍1,2,...,p-1.
显然,x = 0不是x^n ≡ 1 (mod p )的解.
对x = 1,2,...,p-1,存在i = 0,1,2,...,p-2,使x ≡ g^i (mod p).
于是x^n ≡ g^(ni) (mod p).
x^n ≡ 1 (mod p)当且仅当g^(ni) ≡ 1 (mod p),
当且仅当ni是p-1的倍数,
当且仅当i是(p-1)/k的倍数(这里用到k = (n,p-1)).
而在0,1,2,...,p-2中,(p-1)/k的倍数恰有k个,即0,(p-1)/k,2(p-1)/k,...,(k-1)(p-1)/k.
这就对应x^n ≡ 1 (mod p)的k个(不同的)解.
即g^i ≡ 1 (mod p),当且仅当i是p-1的倍数.
由此,对i = 0,1,2,...,p-2,g^i (mod p)两两不同余,
即mod p恰好取遍1,2,...,p-1.
显然,x = 0不是x^n ≡ 1 (mod p )的解.
对x = 1,2,...,p-1,存在i = 0,1,2,...,p-2,使x ≡ g^i (mod p).
于是x^n ≡ g^(ni) (mod p).
x^n ≡ 1 (mod p)当且仅当g^(ni) ≡ 1 (mod p),
当且仅当ni是p-1的倍数,
当且仅当i是(p-1)/k的倍数(这里用到k = (n,p-1)).
而在0,1,2,...,p-2中,(p-1)/k的倍数恰有k个,即0,(p-1)/k,2(p-1)/k,...,(k-1)(p-1)/k.
这就对应x^n ≡ 1 (mod p)的k个(不同的)解.
设n是正整数,p是素数,(n,p−1)=k,证明同余方程x^n≡1(mod p)有k个解.
p是正整数n的最小素因数,证明:p>n^(1/3),n/p是素数
整数分拆公式p(n+k,k)=p(n,1)+p(n,2)+.+p(n,k) 如何证明
a,b,k为大于2的正整数a^k mod (k+1)=n;b^k mod (k+1)=m; 证明 n*m mod (k+
证明:分解{1+p+.+p^2k}的素数中一定有一个数大于p 或找出反例.(p为素数,k为正整数)
证明 1^n+2^n+…+(p-1)^n=0(mod p)
同余乘方证明证明:(应用数学归纳法证明)(1)当n=1时,命题显然成立;(2)假设当n=k时,a^k≡b^k (mod
设k≥1是个奇数,证明对于任意正整数n数1∧k+2∧k+...+n∧k不能被n+2整除
证明:m^p+n^p恒等于0(mod p),则m^p+n^p恒等于0(mod p^2),p为奇素数
数论 x^2 ≡ -n (mod p)有整数解 证明:x^2 ≡ -4n (mod p)有整数解
数学math初等数论设p=4n+3是素数,证明当q=2p+1也是素数时,梅森数Mp=2^p-1不是素数.
设P是一个P-SYLOW子群,请证明N(N(P))=N(P)