作业帮如何用微积分推导出圆锥的侧面积公式s=πrl?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/17 16:05:35
如何用微积分推导出圆锥的侧面积公式s=πrl?
设圆锥由y=kx,x∈[0,h]绕x轴旋转而成.
我是将圆锥分割成无数个小圆柱,面积元素dS=2πkxdx,然后求积分算出来的是πrh,和公式πrl不一样.
看到网上一篇文章说应该取ds=2πkx √(1+k^2) dx ,我不理解这个式子表达的几何意义是什么,我把原文章地址贴上来（圆锥那道题目在网页最后）.
http://cai.wit.edu.cn/jpcourseware/pri/gdsx/%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%96%87%E4%BB%B6/%E6%95%99%E8%BE%85%E6%96%B9%E6%B3%95/wyf%20.htm
ds=2πkx √(1+k^2) dx 是怎么取的?
设圆锥由y=kx,x∈[0,h]绕x轴旋转而成.
我是将圆锥分割成无数个小圆柱,面积元素dS=2πkxdx,然后求积分算出来的是πrh,和公式πrl不一样.
看到网上一篇文章说应该取ds=2πkx √(1+k^2) dx ,我不理解这个式子表达的几何意义是什么,我把原文章地址贴上来（圆锥那道题目在网页最后）.
http://cai.wit.edu.cn/jpcourseware/pri/gdsx/%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%96%87%E4%BB%B6/%E6%95%99%E8%BE%85%E6%96%B9%E6%B3%95/wyf%20.htm
ds=2πkx √(1+k^2) dx 是怎么取的?
按说你做的不错,将圆锥分割成无数个小圆柱,小圆柱的侧面积即是面积元素,半径kx ,周长2πkx即是矩形侧面积的长,因为用dx作宽不精确,实际比所求面积都少了.这时把宽看作母线上对应的那一小段（即根号[dx^2+(kdx)^2]）,也就是√(1+k^2) dx ,面积元素dS=2πkx√(1+k^2) dx ,在[0,h]上 积分,得正确结论.用√(1+k^2) dx作宽近似更好.
再问： “因为用dx作宽不精确”这是怎么分析出来的？“这时把宽看作母线上对应的那一小段”为什么要这样？是凑出来的吗？
再答： 按说划分的小区间分外小，近似也是可以的，但√(1+k^2) dx 与 dx作宽，确实少了【1-√(1+k^2) 】dx这么多
再问： “因为用dx作宽不精确”这是怎么分析出来的？“这时把宽看作母线上对应的那一小段”为什么要这样？是凑出来的吗？
再答： 按说划分的小区间分外小，近似也是可以的，但√(1+k^2) dx 与 dx作宽，确实少了【1-√(1+k^2) 】dx这么多