设Sn=1^2-2^2+3^-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2,猜想Sn关于n的表达式并用数学归纳法证明
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 13:05:43
设Sn=1^2-2^2+3^-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2,猜想Sn关于n的表达式并用数学归纳法证明
分别考虑n是奇数和偶数的情况,
当n=2k时,k=1,2,3,...
Sn=1²-2²+3²-4²+...+(2k-1)²-2k²+...
=-(2-1)(2+1)-(4+3)(4-3)-...-(2k-2k+1)(2k+2k-1)-...
=-3-7-...-(4k-1)-...
为等差数列,通项为-(4k-1),前2k项和
S(2k)=-(3+4k-1)k/2=-(2k+1)k
当n=2k-1,k=1,2,3,...
Sn=1²-2²+3²-4²+...-(2k-2)²+(2k-1)²-...
=1+(3-2)(3+2)+(5+4)(5-4)+...+(2k-1-2k+2)(2k-1+2k-2)+...
=1+5+9+...+(4k-3)+...
为等差数列,通项为4k-3,前2k-1项和
S(2k-1)=(1+4k-3)k/2=(2k-1)k
用数学归纳法证明:
当n=1时,S(1)=1,n为奇数,S(2×1-1)=(2×1-1)×1=1
当n=2时,S(2)=-3,n为偶数,S(2×1)=-(2×1+1)×1=-3
假设当k=m时成立,即n=2m(m=1,2,3,.)和n=2m-1(m=1,2,3,.)成立
S(2k)=-(3+4m-1)m/2=-(2m+1)m
S(2k-1)=(1+4m-3)m/2=(2m-1)m
当k=m+1时,即n=2m+2和n=2m+1时
S(2k)=S(2m)+(2m+1)²-(2m+2)²=-(2m+1)m-(4m+3)=-(2m+3)(m+1)=-(2k+1)k
S(2k-1)=S(2m-1)-(2m)²+(2m+1)²=(2m-1)m+(4m+1)=(2m+1)(m+1)=(2k-1)k
成立,所以猜想成立
当n=2k时,k=1,2,3,...
Sn=1²-2²+3²-4²+...+(2k-1)²-2k²+...
=-(2-1)(2+1)-(4+3)(4-3)-...-(2k-2k+1)(2k+2k-1)-...
=-3-7-...-(4k-1)-...
为等差数列,通项为-(4k-1),前2k项和
S(2k)=-(3+4k-1)k/2=-(2k+1)k
当n=2k-1,k=1,2,3,...
Sn=1²-2²+3²-4²+...-(2k-2)²+(2k-1)²-...
=1+(3-2)(3+2)+(5+4)(5-4)+...+(2k-1-2k+2)(2k-1+2k-2)+...
=1+5+9+...+(4k-3)+...
为等差数列,通项为4k-3,前2k-1项和
S(2k-1)=(1+4k-3)k/2=(2k-1)k
用数学归纳法证明:
当n=1时,S(1)=1,n为奇数,S(2×1-1)=(2×1-1)×1=1
当n=2时,S(2)=-3,n为偶数,S(2×1)=-(2×1+1)×1=-3
假设当k=m时成立,即n=2m(m=1,2,3,.)和n=2m-1(m=1,2,3,.)成立
S(2k)=-(3+4m-1)m/2=-(2m+1)m
S(2k-1)=(1+4m-3)m/2=(2m-1)m
当k=m+1时,即n=2m+2和n=2m+1时
S(2k)=S(2m)+(2m+1)²-(2m+2)²=-(2m+1)m-(4m+3)=-(2m+3)(m+1)=-(2k+1)k
S(2k-1)=S(2m-1)-(2m)²+(2m+1)²=(2m-1)m+(4m+1)=(2m+1)(m+1)=(2k-1)k
成立,所以猜想成立
设Sn=1^2-2^2+3^-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2,猜想Sn关于n的表达式并用数学归纳法证明
猜想Sn=1/1*2+1/2*3,...,1/n*(n+1)的表达式,并用数学归纳法证明
猜想sn=1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+…+1/(1+2+3+…+n)的表达式,并用数学归纳法证明
a1=1/6,前n项和sn=n(n+1)/2*an,猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明
Sn=1/2(an+1/an) Sn是前n项和 求a1,a2,a3.猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明
(1)数刑{an}满足Sn=2n-an,n属於N*,先计算前4项后,猜想an的运算式,并用数归纳法证明.
a(1)=2 A(n)+A(n-1)=3^n n>=2 猜想an的表达式并用数学归纳法证明
设正数数列[Bn]的前n项和Sn且Sn=1/2(Bn+1/Bn) 试探求Bn并用数学归纳法证明
猜想1^2+3^2+5^2+……+(2n-1)^2的表达式,并用数学归纳法证明
已知数列{an}中,a1=2,an+a(n-1)=3^n猜想an的表达式并用数学归纳法加以证明
数列{an}中,满足a1=1,Sn=n^2·an (n属于N正),猜想数列的通项公式,用数学归纳法证明
已知:Sn=1+1/2+1/3+……+1/n,用数学归纳法证明:Sn^2>1+n/2(n>=2,n∈N+)