设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有S

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 12:06:44

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的自然数n，都有S

证明：法一：
令d=a₂-a₁．
下面用数学归纳法证明a_n=a₁+（n-1）d（n∈N）．
（1）当n=1时上述等式为恒等式a₁=a₁．
当n=2时，a₁+（2-1）d=a₁+（a₂-a₁）=a₂，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，a_k=a₁+（k-1）d．由题设，有
S_k=
k(a1+ak)
2，S_k+1=
(k+1)(a1+ak+1)
2，又S_k+1=S_k+a_k+1
∴（k+1）
(a1+ak+1)
2＝
k(a1+ak)
2+ak+1
把a_k=a₁+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a₁+a_k+1）=2ka₁+k（k-1）d+2a_k+1．
整理得（k-1）a_k+1=（k-1）a₁+k（k-1）d．
∵k≥2，∴a_k+1=a₁+kd．即当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{a_n}是等差数列
法二：
当n≥2时，由题设，Sn−1＝
(n−1)(a1+an−1)
2，Sn＝
n(a1+an)
2．
所以a_n=S_n-S_n-1=
n(a1+an)
2-
(n−1)(a1+an−1)
2
同理有
a_n+1=
(n+1)(a1+an−1)
2-
n(a1+an)
2．
从而
a_n+1-a_n=
(n+1)(a1+an−1)
2-n（a₁+a_n）+
(n−1)(a1+an−1)
2，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁
从而{a_n}是等差数列．

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有S 设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都有sn=n(a1+an)/2,求证an是等差数列数学必修五——数列题设数列｛an｝的前n项和为Sn,对于所有的自然数n,都有Sn=n（a1+an）/2.（1）求证｛an 设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都有sn=n(a1+an)/2,求证an是等差数列.请按照我的思路来做. 设数列{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与1的等差中设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的n∈N+,都有...) 设an是正数组成的数列其前n项和为Sn 并且对所有自然数n ∈N,都有8sn=【an＋2]的二次方,写出数列的前三一道数列题,设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,且8sn=(an+2)^2;若bn=4 设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n,有4Sn=（an+1）2 设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n.(1)设bn=an+3,证明:数列｛bn｝是设数列﹛an﹜的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n.设bn=an+3,求证数列﹛bn﹜是等比数列设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的n∈N＋,都有8Sn=（an+2）^2