已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 17:00:42

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间与极值．
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递减函数，求实数a的取值范围．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝
1
x+a−2a2x=−
2a2x2−ax−1
x=-
(2ax+1)(ax−1)
x
①当a=0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）上单调递增，函数无极值；
②当a＞0，令f′（x）=0，得x1＝−
1
2a，x2＝
1
a，且x₁＜0＜x₂，当x∈（0，
1
a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈(
1
a，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＝
1
a时f（x）有极小值为f(
1
a)＝ln
1
a；
③当a＜0，令f′（x）=0，得x1＝−
1
2a，x2＝
1
a，且x₂＜0＜x₁，当x∈（0，−
1
2a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈(−
1
2a，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＝−
1
2a时，f（x）有极小值f(−
1
2a)＝ln(−
1
2a)−
3
4．
（2）由（1）知当a＞0，时f（x）在（
1
a，+∞）上单调递减，∴
1
a≤1，得a≥1，当a＜0时，f（x）在（−
1
2a，+∞）上单调递减，∴−
1
2a≤1，得−
1
2≤a＜0，
综上得：a的取值范围为[−
1
2，0）∪[1，+∞）．

已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．设函数f(x)＝1−a2x2+ax−lnx(a∈R)．已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R．已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx 已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R). 已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R) 已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R)