设整数a，b，c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 17:45:20

设整数a，b，c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a²+b²+c²-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．

由已知等式可得：（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=26 ①，
令a-b=m，b-c=n，则a-c=m+n，其中m，n均为自然数，
于是，等式①变为m²+n²+（m+n）²=26，即m²+n²+mn=13 ②
由于m，n均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m，n只有两组：

m＝3
n＝1和

m＝1
n＝3.
（1）当m=3，n=1时，b=c+1，a=b+3=c+4．
又a，b，c为三角形的三边长，所以b+c＞a，即（c+1）+c＞c+4，解得c＞3．
又因为三角形的周长不超过30，
即a+b+c=（c+4）+（c+1）+c≤30，
解得c≤
25
3，因此3＜c≤
25
3，
所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形．
（2）当m=1，n=3时，b=c+3，a=b+1=c+4．又a，b，c为三角形的三边长，
所以b+c＞a，即（c+3）+c＞c+4，
解得c＞1．
又因为三角形的周长不超过30，
即a+b+c=（c+4）+（c+3）+c≤30，解得c≤
23
3．
因此1＜c≤
23
3，
所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11．

设整数a，b，c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30 设整数a,b,c为三角形的三边长,满足a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=13,求符合条件且周长不超过30的三角形 abc是整数,是三角形的三边,a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc=13,求满足这个条件且周长不超过3 若a、b、c为三角形ABC的三边,且满足a2+b2-c2=ab+ac+bc,试判断三角形ABC的形状已知a.b.c是三角形ABC的三边,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac.求证：三角形ABC为等边三角形若一个三角形的三边长为a、b、c,且满足a2+2b2-2ab-2bc+c2=0,试判断该三角形是什三角形的三边长分别为a，b，c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC的形状一定是______三角形．若△ABC的三边为a,b,c.且a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.判断△ABC的形状. 已知a、b、c为三角形三条边,且a2+b2+c2+ab+ac+bc,求a、b、c的值. 已知三角形三边a,b,c,满足a2+b2+c2+ab+ac+bc=0则三角形是什么三角形若三角形的三边长是a，b，c，且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，试判断三角形的形状．设a,b,c为三角形ABC的三边,且满足（1）a＞b＞c；（2）2b=a+c；（3）a2+b2+c2=84 则整数