如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 14:55:59
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2
(1)求证:平面ABC垂直平面APC (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
(1)求证:平面ABC垂直平面APC (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值
第一个问题:
取AC的中点为D.
∵AB=BC=2√2、AC=4,∴AB^2+BC^2=AC^2,∴由勾股定理的逆定理,有:AB⊥BC.
由AB⊥BC、AD=CD,得:BD=AC/2=2.
∵PA=PC=AC=4,∴AD=CD=2、PD⊥CD,∴PD=√3CD=2√3.
∵PD=2√3、BD=2、PB=4,∴PD^2+BD^2=PB^2,∴由勾股定理的逆定理,有:BD⊥PD.
由AB=BC、D∈AC且AD=CD,得:BD⊥AC.
由BD⊥AC、BD⊥PD、AC∩PD=D,得:BD⊥平面APC,而BD在平面ABC上,
∴平面ABC⊥平面APC.
第二个问题:
取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F.
∵PB=PC=4、BC=2√2,又BE=CE,∴BE⊥PE、BE=√2,
∴由勾股定理,有:PE=√(PB^2-BE^2)=√(16-2)=√14.
∴S(△PBC)=(1/2)BC×PE=(1/2)×2√2×√14=2√7.
∴V(A-PBC)=(1/3)S(△PBC)×AF=(1/3)×2√7AF.
∵PA=PC=AC=4,∴S(△PAC)=(1/2)AC×PD=(1/2)×4×2√3=4√3.
∵BD⊥平面PAC,∴V(B-PAC)=(1/3)S(△PAC)×BD=(1/3)×4√3×2=8√3/3.
显然有:V(A-PBC)=V(B-PAC),∴(1/3)×2√7AF=8√3/3,∴AF=4√3/√7.
∴sin∠APF=AF/PA=(4√3/√7)/4=√3/√7=√21/7.
∵AF⊥平面PBC,∴∠APF就是PA与平面PBC所成的角.
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为 √21/7.
取AC的中点为D.
∵AB=BC=2√2、AC=4,∴AB^2+BC^2=AC^2,∴由勾股定理的逆定理,有:AB⊥BC.
由AB⊥BC、AD=CD,得:BD=AC/2=2.
∵PA=PC=AC=4,∴AD=CD=2、PD⊥CD,∴PD=√3CD=2√3.
∵PD=2√3、BD=2、PB=4,∴PD^2+BD^2=PB^2,∴由勾股定理的逆定理,有:BD⊥PD.
由AB=BC、D∈AC且AD=CD,得:BD⊥AC.
由BD⊥AC、BD⊥PD、AC∩PD=D,得:BD⊥平面APC,而BD在平面ABC上,
∴平面ABC⊥平面APC.
第二个问题:
取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F.
∵PB=PC=4、BC=2√2,又BE=CE,∴BE⊥PE、BE=√2,
∴由勾股定理,有:PE=√(PB^2-BE^2)=√(16-2)=√14.
∴S(△PBC)=(1/2)BC×PE=(1/2)×2√2×√14=2√7.
∴V(A-PBC)=(1/3)S(△PBC)×AF=(1/3)×2√7AF.
∵PA=PC=AC=4,∴S(△PAC)=(1/2)AC×PD=(1/2)×4×2√3=4√3.
∵BD⊥平面PAC,∴V(B-PAC)=(1/3)S(△PAC)×BD=(1/3)×4√3×2=8√3/3.
显然有:V(A-PBC)=V(B-PAC),∴(1/3)×2√7AF=8√3/3,∴AF=4√3/√7.
∴sin∠APF=AF/PA=(4√3/√7)/4=√3/√7=√21/7.
∵AF⊥平面PBC,∴∠APF就是PA与平面PBC所成的角.
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为 √21/7.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2
在三棱锥P-ABC中,D、E分别是AC、AB的中点,PA=PB=PC=根号5,AC=2根号2,AB=根号2,BC=根号6
如图,三棱锥P-ABC中,到面PAC⊥ABC,PA=PB=PC=3.若AB=BC=2倍根号三,求AC与平面PBC所成角的
三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=根号3,CA=CB=根号2,AC垂直BC,1)求PC垂直AB,2)求点B到平面PA
如图,在三棱锥P—ABC中,PA=BC=3,PC=AB=5,AC=4,PB=34, (1)求证:PA⊥平面AB
三棱锥P-ABC中,D为AC中点,PA=PB=PC=根号5,AC=2倍根号2,AB=根号2,BC=根号6,
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC,求三棱锥P-ABC的体积V
如图,在三棱锥P-ABC中,E,F,G,H分别是AB,AC,PC,BC的中点,且PA=PB,AC=BC,求证:(1)AB
三棱锥P-ABC中AB=AC=PB=PC=BC=2,PA=根号3,则PA与底面ABC所成的角为
三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,BC=2a,AC=a,AB=根号3a,点P到ABC的距离为3/2a,求二面角P-A
如图6,三角形ABC中,AB=AC,三角形BAC=120度,点P在BC上,且PA垂直AB,求证PB=2PC
在三棱锥P-ABC中,侧面PAC垂直面ABC,PA=PB=PC=3 求AB垂直BC