作业帮已知定点F（1，0）和定直线l：x=-1，动圆P过定点F且与定直线l相切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/09 14:02:45
已知定点F（1，0）和定直线l：x=-1，动圆P过定点F且与定直线l相切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F（1，0）的一条直线m与曲线C交于不同的两点A，B，且|AB|=8，求直线m的方程．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F（1，0）的一条直线m与曲线C交于不同的两点A，B，且|AB|=8，求直线m的方程．
（1）因为动圆P过定点F（1，0），且与定直线l：x=-1相切，
所以由抛物线定义知：圆心P的轨迹是以定点F（1，0）为焦点，定直线l：x=-1为准线的抛物线，
所以圆心P的轨迹方程为y2=4x；
（2）直线m垂直于x轴时，|AB|=4，不合题意，
∴直线m不垂直于x轴，设方程为y=k（x-1）
代入方程y2=4x得kx2-（2k2+4）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2+
4
k2
∵|AB|=x1+x2+2，|AB|=8，
∴2+
4
k2+2=8，
∴k=±1，此时△＞0成立，
∴直线m的方程为y=x-1或y=-x+1．
所以由抛物线定义知：圆心P的轨迹是以定点F（1，0）为焦点，定直线l：x=-1为准线的抛物线，
所以圆心P的轨迹方程为y2=4x；
（2）直线m垂直于x轴时，|AB|=4，不合题意，
∴直线m不垂直于x轴，设方程为y=k（x-1）
代入方程y2=4x得kx2-（2k2+4）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2+
4
k2
∵|AB|=x1+x2+2，|AB|=8，
∴2+
4
k2+2=8，
∴k=±1，此时△＞0成立，
∴直线m的方程为y=x-1或y=-x+1．
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