椭圆压轴题已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连线构成一个等腰直角三角形,直

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 13:55:39

椭圆压轴题
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连线构成一个等腰直角三角形,直线x-y+b=0是抛物线y^2=4x的一条切线（Ⅰ）求椭圆方程（Ⅱ）过点S(0,-1/3)的动直线L交椭圆C于A、B两点,是否存在一个定点T使得以AB为直径的圆恒过点T,若存在求T坐标

（Ⅰ）将x=y-b代入抛物线y^2=4x得y^2-4y+4b=0
由于直线与抛物线相切,故Δ=16-16b=0,即 b=1
又因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点连线构成一个等腰直角三角形,
则b=c=(√2/2)a
所以 a=√2,b=1,c=1
所求椭圆方程为x^2/2+y^2=1
（Ⅱ）首先分析：取两个特殊情况,若AB在x轴上,此时圆为x^2+y^2=1;若AB//x轴,可求得圆的方程为x^2+6(y+1/3)^2=16/9,可见,这两个圆只有一个公共点（0,1）,下面只需判断动圆是否恒过点（0,1）.
设椭圆上的点A、B坐标为（√2cosα,sinα）、（√2cosβ,sinβ）
（其中α≠2kπ+β,k为整数）
则动圆方程为(x-√2cosα)(x-√2cosβ)+(y- sinα)(y- sinβ)=0……（1）
由于A、B、S三点共线,则√2cosα（sinβ+1/3）-√2cosβ（sinα+1/3）=0
展开得3（sinαcosβ- cosαsinβ）= cosα- cosβ
运用三角函数的和积互化公式得
3sin(α-β)/2cos(α-β)/2+sin(α+β)/2 cos(α-β)/2=0
显然得3cos(α-β)/2=- sin(α+β)/2…………（2）
将点（0,1）的坐标代入（1）的左侧并运用（2）,整理得
(0-√2cosα)(0-√2cosβ)+(1- sinα)(1- sinβ)
=2 cosαcosβ+1+ sinαsinβ- sinα- sinβ
= 1+(1/2) cos（α+β）+(3/2) cos（α-β）-2 sin(α+β)/2 cos(α-β)/2
= (cos(α+β)/2)^2-1+3 (cos（α-β）/2)^2-2 sin(α+β)/2 cos(α-β)/2
= - (sin(α+β)/2)^2+(1/3) (sin(α+β)/2)^2+(2/3) (sin(α+β)/2)^2
=0
故点（0,1）坐标适合圆的方程,
因此,以AB为直径的圆必过定点T（0,1）.

椭圆压轴题已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连线构成一个等腰直角三角形,直已知椭圆C:y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连结构成等腰直角三角形,直线l:x- 已知椭圆C：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形,直线l:x- 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的一个焦点是(1,0)两个焦点与短轴一个端点构成等边三角 2：已知双曲线C:x^2/(a^2)-y^2/b^2=1（a>b>0)的离心率为1/2,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的离心率为根号6比3,椭圆短轴的一个的一个端点与两个焦点构椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1,0）,已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正已知椭圆x方/a方+y方/b方=1（a＞b＞0）的离心率为根号6/3,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,短轴的一个顶点与两焦点构成的三角形面积为根号已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号5/3,短轴一个端点到右焦点的距离为3.求椭圆已知椭圆x^2/a^+y^2/b^=1的离心率为3分之根号6,短轴的一个端点到右焦点的距离为根号3,直线L与椭圆交于AB 一道解析几何题,已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为三分之根号六,短轴一个端点到右焦点