函数f(x)在0到无穷上可导,f(0)=1,且满足等式f'(x)+f(x)-1/(x+1)[0,x]∫f(t)dt=0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 22:03:41

函数f(x)在0到无穷上可导,f(0)=1,且满足等式f'(x)+f(x)-1/(x+1)[0,x]∫f(t)dt=0 (1)求f'(x)
(2)证明当x>=0时,不等式e^-x

请问您的等式到底是什么?怎么等式里面还有区间?
再问： [0,x]∫f(t)dt的意思是积分的上下限是0到x
再答：首先移项, {f'(x)+f(x)}*(x+1)=∫f(t)dt 然后两侧求导｛f'‘(x)+f’(x)｝*(x+1)+f'(x)+f(x)=f(x) 化简上式 f''(x)/f'(x)=-(x+2)/(x+1) 解上述微分方程令f'(x)=p 则有dp/p=-(x+2)/(x+1)*dx 化简继续dp/p=｛-1-1/(x+1)｝*dx 两侧取积分Lnp=-x-Ln(x+1)-Lnc 即：Lnp=Lne^(-x)-Ln(x+1)-Lnc 则有p=e^(-x)/（c*(x+1)) 即f'(x)=1/（c*e^x*(x+1)）将x=0带入已知等式得到f'(0)=-1 得到c=-1 即f'(x)=-1/（e^x*(x+1)）（2）显然f'(x)恒小于0 即f(x)为减函数f(x)max=f(0)=1 即有f(x)=∫-e^(-x)dx 即f(x)>=∫-e^(-x)dx 即f(x)>=e^(-x) 到此证毕！望采纳

函数f(x)在0到无穷上可导,f(0)=1,且满足等式f'(x)+f(x)-1/(x+1)[0,x]∫f(t)dt=0 设当x>0时,函数f(x)连续且满足f(x)=x+∫(1,x)1/xf(t)dt,求f(x) 设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫（0到x）t^n*f(t)dt 8、设f(x)为可导函数,且满足∫0到x f(t)t^2 dt=f(x)+3x 求f(x) f(x)连续且f(x)=x+(x^2)∫ (0,1)f(t)dt,求f(x) 求证连续函数f(x)满足:∫(0到1)f(tx)dt=f(x)+xsinx 设函数F(X)具有二阶连续导数,且满足F(X)=[微分（上限X下限0）F(1-t)dt]+1,求F(X) 设f(X)连续且满足 f(x)=e^x+sinx- ∫ x 0 (x-t)f(t)dt,并求该函数f(x) 定义在(0,正无穷)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x) 设有连续函数f(x)满足∫f(tx)dt(从0到1)=f(x)+xsinx,求f(x). f(x) 在定义域（0,正无穷）上是增函数,满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(x)+f(x- 设函数f(x)二阶可导,f(0)=1/2,且满足2∫f(t)dt=e^3x+3f(x)-f`(x),求f(x)