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设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),若g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 19:10:55
设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),若g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间.
(1)∵f(x)=x3+bx2+cx,
∴f'(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c
是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,
由奇函数定义得b=3;
(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g'(x)=3x2-6,
当g'(x)>0时,x<-
2或x>
2,
当g'(x)<0时,-
2<x<
2,
由此可知,(-∞,-
2)和(
2,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;(-
2,
2)是函数g(x)的单调递减区间;