已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的一个交点为A（1，0），

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 06:06:38

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的一个交点为A（1，0），
另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-2）．

（1）b=______，点B的坐标为（______，______）；（均用含a的代数式表示）
（2）若a＜2，试证明二次函数图象的顶点一定在第三象限；
（3）若a=1，点P是抛物线在x轴下方的一个动点（不与C重合），连结PB，PC，设所得△PBC的面积为S，试求S的取值范围．

（1）∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的一个交点为A（1，0），
∴a+b+c=0，
∵图象与y轴的交点为：C（0，-2），
∴c=-2，
∴b=2-a，
则抛物线解析式为：y=ax²+（2-a）x-2，
y=0时，0=ax²+（2-a）x-2，
解得：x₁=1，x₂=-
2
a，
∴B点坐标为：（-
2
a，0），
故答案为：2-a，（-
2
a，0）；
（2）证明：∵二次函数图象过（1，0）点，且与y轴的交点坐标是（0，-2），
∴可（1）得：c=-2，b=2-a，
∴y=ax²+（2-a）x-2=a（x+
2−a
2a）²-
(a+2)2
4a，
∴抛物线顶点坐标为：（-
2−a
2a，-
(a+2)2
4a）
∵0＜a＜2，
∴2a＞0，4a＞0，2-a＞0，（a+2）²＞0，
∴-
2−a
2a＜0，-
(a+2)2
4a＜0．
∴该二次函数图象的顶点一定在第三象限．
（3）当a=1时，y=x²+x-2，此时点B的坐标为（-2，0）．
当0＜x＜1时，0＜S＜S_△ABC，
∵S_△ABC=
1
2×AB×OC=
1
2×3×2=3，
∴此时，0＜S＜3．
当-2＜x＜0时，可设点P的坐标为：（x，x²+x-2）
连结PO，则S=S_△POB+S_△POC-S_△BOC
∴S=
1
2×2×（-x²-x+2）+
1
2×2×（-x）-
1
2×2×2
=-x²-2x
=-（x+1）²+1，
∵当x=-1时，S取最大值1，且满足-2＜-1＜0，
∴此时，0＜S≤1．
综上所述，S的取值范围为0＜S＜3．

已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的一个交点为A（1，0），附加题：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且ac=b．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为（1.0）（3.0）在y轴上轴距为6,1做FX的图象. 已知m是一次函数y=2ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴有交点，如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）．图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1、3，与y轴负半已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为（﹣1,0）,（3,0）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=2,若与x轴交点为A（6,0）,则由图象可知,当y＞0时,自如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），另一个交点为B，顶点是D，与y 已知二次函数y=ax^2+bx+C的图象G和x轴只有一个交点A与Y轴的交点为B（0,4）,且ac=b求二次函数表达式如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为已知二次函数y=x2-2bx+b2+c的图象与直线y=1-x只有一个公共点，并且顶点在二次函数y=ax2（a≠0）的图象