椭圆的蝴蝶定理变形如图所示,点F、直线l分别是椭圆Γ的焦点和准线.弦AB、TS均过F.过点T,S分别作椭圆Γ的切线TC,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 15:20:08

椭圆的蝴蝶定理变形

如图所示,点F、直线l分别是椭圆Γ的焦点和准线.弦AB、TS均过F.过点T,S分别作椭圆Γ的切线TC,SD,其中C,D分别是两切线与直线AB的交点.
求证：1/FA ﹣1/FB = 1/FC﹣1/FD

注：1、我已知道直线TC,SD与准线l交于一点,故我在图中已标明其交点K
2、本题实际上是广义蝴蝶定理中,有两条弦趋于重合时的退化结论
证明要求：1、最好可以给出多个证明,涉及几何学的多个分支,如欧式几何、仿射几何、射影几何、解析几何,或者用三角函数、向量、复数等代数方法证明
2、最好可以给出一个直接用椭圆的几何性质证明的初等方法

鄙人不才,目前只想出一个欧式几何证法.
证明：设直线AB,CD与准线l分别交于点P,Q
过点K作KL∥AB交直线TS于点L
由平行可以得到KL：CF=TL：FT=（TQ﹣QL）：FT
同理KL：DF=（QL﹣SQ）：FS
∴KL（1/CF﹣1/DF）=QL（1/FT﹣1/FS）+TQ：FT﹣SQ：FS
设T,S在准线l上的射影为T＇,S＇
　　　则TQ：FT﹣SQ：FS=TQ：(eTT＇)﹣SQ：(eSS＇)=1/(ecosα)﹣1/(ecosα)=0
由焦半径公式FT=ep/(1-ecosθ),容易化简得到1/FT﹣1/FQ=2|cosθ|/p=2/FQ
∴1/CF﹣1/DF=(QL：KL)×2/FQ
由平行,QL：KL=PF：QF,∴1/CF﹣1/DF=2/PF
仿照1/FT﹣1/FQ=2/FQ,可得1/FA﹣1/FB=2/PF
∴1/FC﹣1/FD=1/FA﹣1/FB
再问：请问您还能不能想出其它证法？谢谢

椭圆的蝴蝶定理变形如图所示,点F、直线l分别是椭圆Γ的焦点和准线.弦AB、TS均过F.过点T,S分别作椭圆Γ的切线TC, 平面几何超难题如图所示.已知椭圆的焦点为F,准线为l.PA、PB是椭圆的两条切线.PF、AB交于点R,过R作RQ∥长轴, 设AB是过椭圆焦点F的弦,以AB为直径的圆与椭圆的焦点F对应的准线L的位置关系是点F是椭圆的一个焦点,直线m是椭圆的准线,PQ为过焦点F的一条弦.是研究以PQ为直径的圆与直线m的位置关系已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,三分之二根号三)过点P(1,1)分别作斜率为k1k2的椭圆的动弦AB,CD, 左焦点F（-1,0）的椭圆过点E（1,2√3/3）过点p（1,1）分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD.设m,n 椭圆离心率已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,右焦点是F,过F点作直线与长已知椭圆X方/A方+Y方/B方=1的左右顶点上分别是A、B,右焦点是F,过F点作直线与长轴垂直,与椭圆交于P、Q两设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准【椭圆直线】椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B.若椭圆是存在点C,是%... 设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过点F的弦，试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．过椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1的右焦点F作直线交椭圆于A,B两点,求证以弦AB为直径的圆与与椭圆的右准线相离