（2011•天津模拟）已知函数f（x）=（x2-3x+3）•ex，设t＞-2，f（-2）=m，f（t）=n．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 04:54:10

（2011•天津模拟）已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x，设t＞-2，f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）试判断m，n的大小并说明理由；
（3）求证：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

（1）因为f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
要使函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0，
（2）因为函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，
又f（-2）=13e^-2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），
即m＜n，
（3）证：∵
f′(x0)
ex0
＝x20−x0，∴
f′(x0)
ex0＝
2
3(t−1)2，
即为x₀²-x₀=
2
3(t−1)2，
令g（x）=x²-x-
2
3(t−1)2，从而问题转化为证明方程g（x）=x2−x−
2
3(t−1)2=0在（-2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（-2）=6-
2
3（t-1）²=-
2
3(t−4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-
2
3(t−1)2=
1
3(t+2)(t−1)，
所以当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-
4
3(t−1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足
f′(x0)
ex0＝
2
3(t−1)2，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．

（2011•天津模拟）已知函数f（x）=（x2-3x+3）•ex，设t＞-2，f（-2）=m，f（t）=n．已知函数f（x）=(x2-3x+3)*ex,其定义域为[-2,t]（t>-2）,设f(-2)=m,f(t)=n. （2011•天津模拟）已知函数f（x）=（x2-3x+3）•ex．已知函数f（x）=(x2-3x+3)*ex,其定义域为[-2,t]（t>-2）,设f(-2)=m,f(t)=n试确定t的已知函数f（x）=(x2-3x+3)*ex,其定义域为[-2,t]（t>-2）,设f(-2)=m,f(t)=n求证：对于已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．（2013•天津模拟）已知函数f（x）=-2x2+|x|+1，若f（log2m）＞f（3），则实数m的取值范围是（18，（2013•天津）设函数f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，已知函数f（x）=ex+2x2-3x．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex．（2011•江苏模拟）设m为实数，函数f（x）=2x2+（x-m）|x-m|，h(x)＝f(x)x(x≠0)0(x＝0) （2010•青岛一模）已知向量m＝(3sin2x+t，cosx)，n＝(1，2cosx)，设函数f(x)＝m•n．