当0≤x≤1时,f(x)=2
x-1-1=2
x-2,当x<0时,f(x)=1-2
x-1=-2
x,且-1≤f(x)≤0,
当x>1时,f(x)=
(x−1)2+2−x
x−1=x-1+
1
x−1-1,
且f(x)≥1,如右图所示,
又函数g(x)=[f(x)]
2+af(x)-1(其中a为常数)
判别式为a
2+4>0,则g(x)=0有两个不等的实根,且
设f(x)=m,n,且mn=-1,m+n=-a,
①若a=
3
2,则设m=-2,n=
1
2,则结合图象可知,
函数g(x)没有零点,故①错;
②当a=0时,g(x)=0则f(x)=±1,函数g(x)有两个零点,故②正确;
③若存在函数g(x)有三个不同零点,则x轴上方2个,下方1个;或上方1个,下方2个.即有f(x)=-1,
由于mn=-1,故还有f(x)=1,不成立;第二种情况也不成立,上方有1个,即f(x)=1,还有f(x)=-1,
故③错;
④函数g(x)有四个不同零点⇔即在x轴上方有两个、下方有两个,即-1<m<0且n>1,即m+n>0,-a>0
即a<0,故函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0,即④正确.
故答案为:②④.