八（1）班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角设计了如下方案：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 02:55:02

八（1）班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）在方案一的前提下,请你在设计一种方案（不同于方案2）,使过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．

分析：（1）方案（Ⅰ）中判定PM=PN并不能判断P就是∠AOB的角平分线,关键是缺少△OPM≌△OPN的条件,只有“边边”的条件；
方案（Ⅱ）中△OPM和△OPN是全等三角形（三边相等）,则∠MOP=∠NOP,所以OP为∠AOB的角平分线；
（2）可行．此时△OPM和△OPN都是直角三角形,可以利用HL证明它们全等,然后利用全等三角形的性质即可证明OP为∠AOB的角平分线．（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件,
∵只有OP=OP,PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；
方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中
OM=ON PM=PN OP=OP
∴△OPM≌△OPN（SSS）,
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）（5分）；
∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时,方案（Ⅰ）可行．
∵四边形内角和为360°,又若PM⊥OA,PN⊥OB,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°,
∵若PM⊥OA,PN⊥OB,
且PM=PN,
∴OP为∠AOB的平分线（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）；
当∠AOB不为直角时,此方案不可行．

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