设u=f(r).r=根号下x^+y^,其中f是二阶可微函数,且f(1)=1,f '(1)=1 u对x的二次偏导+对y的二

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 00:57:17

设u=f(r).r=根号下x^+y^,其中f是二阶可微函数,且f(1)=1,f '(1)=1 u对x的二次偏导+对y的二次偏导=0.求f(r)
设u=f(r).r=根号下x^+y^,其中f是二阶可微函数,且f(1)=1,f '(1)=1
u对x的二次偏导+对y的二次偏导=0.求f(r)
这道题书上只给出了答案
上面打掉了一个东西
应该是u对x的二次偏导+u对y的二次偏导=0

u=f(r),r=√(x2+y2)
∂r/∂x=x/√(x2+y2),∂r/∂y=y/√(x2+y2)
∂2r/∂x2=[√(x2+y2)-x2/√(x2+y2)]/(x2+y2)=y2/[(x2+y2)√(x2+y2)]
∂2r/∂y2=[√(x2+y2)-y2/√(x2+y2)]/(x2+y2)=x2/[(x2+y2)√(x2+y2)]
∂u/∂x=∂f/∂r*∂r/∂x,∂u/∂y=∂f/∂r*∂r/∂y
∂2u/∂x2=∂[∂f/∂r*∂r/∂x]/∂x=∂[∂f/∂r]/∂x*∂r/∂x+∂f/∂r*∂[∂r/∂x]/∂x=∂2f/∂r2*(∂r/∂x)2+∂f/∂r*∂2r/∂x2
∂2u/∂y2=∂[∂f/∂r*∂r/∂y]/∂y=∂[∂f/∂r]/∂y*∂r/∂y+∂f/∂r*∂[∂r/∂y]/∂y=∂2f/∂r2*(∂r/∂y)2+∂f/∂r*∂2r/∂y2
∂2u/∂x2+∂2u/∂y2=[∂2f/∂r2*(∂r/∂x)2+∂f/∂r*∂2r/∂x2]+[∂2f/∂r2*(∂r/∂y)2+∂f/∂r*∂2r/∂y2]
=∂2f/∂r2*[(∂r/∂x)2+(∂r/∂y)2]+∂f/∂r*[∂2r/∂x2+∂2r/∂y2]
=∂2f/∂r2*{(x2+y2)/[√(x2+y2)]2}+∂f/∂r*{(x2+y2)/[(x2+y2)√(x2+y2)]}
=∂2f/∂r2*1+∂f/∂r*[1/√(x2+y2)]
=∂2f/∂r2+∂f/∂r*1/r
∂2u/∂x2+∂2u/∂y2=∂2f/∂r2+∂f/∂r*1/r=0 => r*∂2f/∂r2+∂f/∂r=0
∫r*(∂2f/∂r2)dr+∫(∂f/∂r)dr=∫0dr=C
∫rd(∂f/∂r)+∫(∂f/∂r)dr =C
r*(∂f/∂r)-∫(∂f/∂r)dr+∫(∂f/∂r)dr=C
r*(∂f/∂r)=C => (∂f/∂r)=f'(r)=C/r
∫f'(r)dr=∫C/r*dr => ∫df(r)=C∫dlnr
f(r)=Clnr+C1
f(1)=1,=> f(1)=Cln1+C1=0+C1=C1=1
f'(1)=1,=> f’(1)=C/1=C=1
f(r)=lnr+1=ln[√(x2+y2)]+1

设u=f(r).r=根号下x^+y^,其中f是二阶可微函数,且f(1)=1,f '(1)=1 u对x的二次偏导+对y的二设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,且对x,y∈R都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)的表设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时,f(x)>1证明设f （x ）定义在R上的函数,且对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x＞0时,f(x)＞1证明：设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R有f（x+y)=f(x)+f(y0,且当x>0时,恒有f(x)>0若f(1) 1、设函数f(x)的定义域为R+,f(xy)=f(x)+f(y)且f(8)=3,求f(根号2) 设定义在R上的函数f(x）,对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·(y),且当x＞0时恒有f(x）＞1 ,若f(1 设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)×f(y),当且只当x＞0时,0＜f(x)＜1 设函数f（x）的定义域为R,当x＞0时,f（x）＞1,且对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)*f(y) 设函数f x的定义域为R,对任意实数X.Y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)>0且f(2)=3 1 设定义在R上的函数f(x),对任意x,y,有f(X+y)=f(x)*f(y),且当x＞0时,恒有f(X)大于1,若f(1 设函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意xy属于R,均有f(x+y)=f(x)f(y),试判断函数