作业帮已知二次函数f（x）=ax2+bx且f（2）=0，方程f（x）-1=0有两个相等的实数根．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 06:10:04
已知二次函数f（x）=ax2+bx且f（2）=0，方程f（x）-1=0有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（3）当x∈[-
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（3）当x∈[-
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（1）∵函数f（x）=ax2+bx，
∴f（2）=4a+2b=0，①
∵方程f（x）-1=0，得
ax2+bx-1=0有两个相等的实数根．
∴△=b2+4a=0 ②，
联立①②，解得
∴a=-1或a=0（舍），
∴b=2，
∴f（x）=-x2+2x，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=-x2+2x．
（2）任设x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=-x1 2+2x1+x22-2x2，
=（x2-x1）[2-（x1+x2）]，
∵1≤x1≤x2，
∴x2-x1＞0，x1+x2＞2，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（3）如图示：
当x=1时，函数有最大值1，
当x=-
1
2时，函数有最小值-
5
4．
∴f（2）=4a+2b=0，①
∵方程f（x）-1=0，得
ax2+bx-1=0有两个相等的实数根．
∴△=b2+4a=0 ②，
联立①②，解得
∴a=-1或a=0（舍），
∴b=2，
∴f（x）=-x2+2x，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=-x2+2x．
（2）任设x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=-x1 2+2x1+x22-2x2，
=（x2-x1）[2-（x1+x2）]，
∵1≤x1≤x2，
∴x2-x1＞0，x1+x2＞2，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（3）如图示：
当x=1时，函数有最大值1，
当x=-
1
2时，函数有最小值-
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4．
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已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等实数,
已知a,b为常数,且a不为0,f（x）ax^2+bx,f（2）=0,方程f（x）=x有两个相等的实数根.（1）求函数f（
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