设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)满足:f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 02:09:39
设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)满足:f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,
(1)求实数a、b的值;
(2)当x∈[-2,2]时,求函数ϕ(x)=ax2+btx+1的最大值g(t).
(1)求实数a、b的值;
(2)当x∈[-2,2]时,求函数ϕ(x)=ax2+btx+1的最大值g(t).
(1)函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)满足:f(-1)=0,可得a-b+1=0,可得b=a+1
∵对任意实数x均有f(x)≥0成立,
∴ax2+bx+1=ax2+(a+1)x+1≥0,恒成立,
∴
a>0
△≤0解得(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,
∴a=1,b=2;
故答案为:a=1,b=2…(6分)
(2)当x∈[-2,2]时,求函数ϕ(x)=ax2+btx+1=x2+2tx+1=(x+t)2+1-t2,
函数的对称轴为x=-t,
当t≤0时,-t≥0,f(x)在(-2,-t)上为减函数,
f(x)在x=-2处取得最大值,g(x)max=g(-2)=5-4t;
当t>0时,在x=2处取得最大值,g(x)max=g(2)=5+4t;
函数ϕ(x)=ax2+btx+1的最大值g(t).
∴g(t)=
5−4t
&t≤0
5+4t
&t>0…(12分)
∵对任意实数x均有f(x)≥0成立,
∴ax2+bx+1=ax2+(a+1)x+1≥0,恒成立,
∴
a>0
△≤0解得(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,
∴a=1,b=2;
故答案为:a=1,b=2…(6分)
(2)当x∈[-2,2]时,求函数ϕ(x)=ax2+btx+1=x2+2tx+1=(x+t)2+1-t2,
函数的对称轴为x=-t,
当t≤0时,-t≥0,f(x)在(-2,-t)上为减函数,
f(x)在x=-2处取得最大值,g(x)max=g(-2)=5-4t;
当t>0时,在x=2处取得最大值,g(x)max=g(2)=5+4t;
函数ϕ(x)=ax2+btx+1的最大值g(t).
∴g(t)=
5−4t
&t≤0
5+4t
&t>0…(12分)
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【高一数学】设函数f(x)=ax^2+bx+1(a、b∈R)满足:f(-1)=0,且对任意实数f(x)≥0恒成立: