已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/09 03:31:26

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2时，总有f(x)≤

(x+1)

（1）∵对任意实数x都有f（x）≥2x，
∴f（1）≥2．
∵当0＜x＜2时，总有f(x)≤
1
2(x+1)2成立，
∴f（1）≤
1
2(1+1)2＝2，
∴f（1）=2．（3分）
（2）∵f（1）=a+b+c=2，
对任意实数x都有f（x）≥2x，
即ax²+（b-2）x+c≥0恒成立，
∴

a＞0
(b−2)2−4ac≤0，
∴b-2=-（a+c），
∴[-（a+c）]²-4ac≤0，
即（a-c）²≤0，
∴a=c＞0，b=2-2a．（5分）
∵f(x)≤
1
2(x+1)2，
∴2f（x）≤（x+1）²，
即2[ax²+（2-2a）x+a]≤（x+1）²，
整理得（2a-1）x²+（2-4a）x+2a-1≤0，
即（2a-1）（x-1）²≤0，
∵当0＜x＜2时，它恒成立，
∴0＜a≤
1
2．
∴f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]．（10分）