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已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,f(x)、g(x)都在R上,且f(x)+g(x)=ax,(a>0,a≠1),求证

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 09:28:17
已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,f(x)、g(x)都在R上,且f(x)+g(x)=ax,(a>0,a≠1),求证:f(2x)=2f(x)g(x).
∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,f(x)、g(x)都在R上,且f(x)+g(x)=ax,①,
∴f(-x)+g(-x)=a-x
即-f(x)+g(x)=a-x,②,
由①②解得f(x)=
ax−a−x
2,g(x)=
ax+a−x
2,
则2f(x)g(x)=2×
ax−a−x

ax+a−x
2=
a2x−a−2x
2=f(2x),
∴等式成立.