已知二次函数f(x)=ax²+bx+c满足f(0)=1,且直线y=4x与f(x)的图像相切与点M(1,4).

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 18:20:18

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c满足f(0)=1,且直线y=4x与f(x)的图像相切与点M(1,4).
（1）求函数f(x)的解析式
（2）若f(n)为数列｛an｝的前n项和,求｛an｝的通项公式.

(1)
二次函数f(x)=ax²+bx+c满足f(0)=1
所以f(0)=c=1
f′(x)=2ax+b
因为直线y=4x与f(x)的图像相切与点M(1,4)
所以f′(1)=2a+b=4
f(1)=a+b+1=4
解得a=1,b=2
所以f(x)=x^2+2x+1
(2)
a1=f(1)=4
当n≥2时an=f(n)-f(n-1)=(n^2+2n+1)-[(n-1)^2+2(n-1)+1]=2n+1
所以an=4 (n=1)
2n+1 (n≥2)
再问：为什么f′(x)=2ax+b
再答：导数啊，x^2的导数是2x
再问：额- -我们还没有学导数。。。
再答：额，那只能按1楼的用判别式=0来做了，但那不是严谨的做法，因为相切不一定只有一个交点，只不过这题是只有一个交点，如果遇到高次的曲线的话可能就不成立了。明天再来了，要断电了。。。