已知函数f（x）=aln（e x +1）-（a+1）x，g（x）=x 2 -（a-1）x-f（lnx），a∈R，且g（x

（1）g（x）=x ² -（a-1）x-aln（1+x）+（a+1）lnx（x＞0），
g ′ (x)=2x-(a-1)-
a
1+x +
a+1
x (x＞0) ，
由于g（x）在x=1处取得极值，有g′（1）=0，所以a=8．
（2）g（x）=x ² -7x-8ln（1+x）+9lnx（x＞0）
g ′ (x)=2x-7-
8
1+x +
9
x =
(x-1)(x-3)(2x+3)
x(x+1) (x＞0) ，
由g′（x）=0，得x=1或x=3
函数g（x）增区间（0，1），减区间（1，3），
所以函数g（x）在x=1处取得极大值且g（x） _max =g（1）=-6-8ln2
不等式m-8ln2≥g（x），对0≤x≤3成立，等价于m-8ln2≥g（x） _max 成立
∴m≥-6
（3）设A（x ₁ ，f（x ₁ ）），B（x ₂ ，f（x ₂ ））．C（x ₃ ，f（x ₃ ）），且x ₁ ＜x ₂ ＜x ₃ ， x 2 =
x 1 + x 3
2 ，
f ′ (x)=
8 e x
1+ e x -9=
-9- e x
1+ e x ＜0 恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
∴f（x ₁ ）＞f（x ₂ ）＞f（x ₃ ），
∴
BA =( x 1 - x 2 ，f( x 1 )-f( x 2 )) ，
BC =( x 3 - x 2 ，f( x 3 )-f( x 2 )) ，
∴
BA •
BC =( x 3 - x 2 )( x 1 - x 2 )+f( x 1 )-f( x 2 )•f( x 3 )-f( x 2 )＜0 ．
所以B为钝角，△ABC是钝角三角形．
若△ABC是等腰三角形，则只能是 |
BA |=|
BC | ．
即 ( x 1 - x 2 ) 2 +[f( x 1 )-f( x 2 ) ] 2 =( x 3 - x 2 ) 2 +[f( x 3 )-f( x 2 ) ] 2
∵ x 2 =
x 1 + x 3
2 ∴ [f( x 1 )-f( x 2 ) ] 2 =[f( x 3 )-f( x 2 ) ] 2 ．
f（x ₁ ）-f（x ₂ ）≠f（x ₃ ）-f（x ₂ ）f（x ₁ ）-f（x ₂ ）=f（x ₂ ）-f（x ₃ ）
∴ f(
x 1 + x 3
2 )=
f( x 1 )+f( x 3 )
2 ，
由f（x）=8ln（1+e ^x ）-9x， f( x 1 )+f( x 2 )-2f(
x 1 + x 2
2 )
= 8[ln(1+ e x 1 )(1+ e x 1 )-ln(1+ e
x 1 + x 2
2 ) 2 ]
= 8[ln(1+ e x 1 + e x 2 + e x 1 + x 2 )-ln(1+2 e
x 1 + x 2
2 + e x 1 + x 2 )]
∵x ₁ ≠x ₂ ∴ e x 1 + e x 2 ＞2
e x 1 • e x 2 =2 e
x 1 + x 2
2
∴ 1+ e x 1 + e x 2 + e x 1 + x 2 ＞1+2 e
x 1 + x 2
2 + e x 1 + x 2
∴ f( x 1 )+f( x 2 )-2f(
x 1 + x 2
2 )＞0
∴ f(
x 1 + x 2
2 )＜
f( x 1 )+f( x 2 )
2 ，
故△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．