复变函数问题一道为什么可以这样相等,如果C和|z|=1相交呢?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 04:52:39

复变函数问题一道

为什么可以这样相等,如果C和|z|=1相交呢?

我感觉你问得有道理,不过这个等式确实是成立的.
当n为非负整数时,积分函数在整个复平面上是解析函数,在任何一个闭曲线内积分均为0.
当n为负整数时,积分函数只有一个奇点z=0,因此当C内含有z=0时,等式左右两端相等,其值均=2πi×Res(z^n,0)
再问：我感觉可能因为既然该函数只有z=0不解析，那么可以画无限个以z=0为原点的圆环C，总是可以包围|z|=1的，根据柯西定理推论，就弄出来图片中那个式子了。
再答：我没明白你的追问是什么意思。你所说的无限个以z=0为圆心的圆环C，原题中的C不一定满足这个条件。
如果曲线C包含了圆环|z|=1，那么根据柯西定理，可以直接推导出等式成立。
如果曲线C不包含圆环|z|=1（也就是C与圆环相交，如你原问题所问的那样），那么等式虽然也成立，但是其推导不能直接由柯西定理得出。
也就是本题虽然结论是正确的，但推导过程有疏漏。
再问：在全平面内解析，那么任意闭合曲线都解析，我的意思是每一个闭合曲线，都可以找到一个|Z|=∞的圆环包含该曲线，也包含|z|=1,这样就相等了，我感觉题目推导可能是这个意思。
再答：不用客气，谢谢采纳！

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