作业帮【急救!】关于椭圆的一道题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 20:36:03
【急救!】关于椭圆的一道题
已知点M为椭圆（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)上的任一点,它与短轴两端点的连线分别交X轴于P,Q,求证：OP,OQ的数量积为定值
已知点M为椭圆（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)上的任一点,它与短轴两端点的连线分别交X轴于P,Q,求证：OP,OQ的数量积为定值
设P点坐标为（x1,0）Q点坐标为（x2,0） M点坐标为（x,y）
由题意可知 短轴两端点的坐标为A（0,b）B（0,-b）
点A、M、P在一直线上 点 B、M、Q在一直线上
所以 b/（-x1)=y/(x-x1)
-b/(-x2)=y/(x-x2)
解得：x1=bx/(b-y)
x2=bx/(b+y)
x1*x2=b^2*x^2/(b^2-y^2)
由（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
x^2/a^2=(b^2-y^2)/b^2
b^2*x^2/(b^2-y^2)=a^2
所以x1*x2=a^2
由题意可知 短轴两端点的坐标为A（0,b）B（0,-b）
点A、M、P在一直线上 点 B、M、Q在一直线上
所以 b/（-x1)=y/(x-x1)
-b/(-x2)=y/(x-x2)
解得：x1=bx/(b-y)
x2=bx/(b+y)
x1*x2=b^2*x^2/(b^2-y^2)
由（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
x^2/a^2=(b^2-y^2)/b^2
b^2*x^2/(b^2-y^2)=a^2
所以x1*x2=a^2