在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/04/27 14:28:29

在平面直角坐标系xOy中，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一动点，反比例函数y＝

（1）根据题意知，P（1，2）．若点E与点P重合，则k=xy=1×2=2；

（2）①当0＜k＜2时，如图1所示．
根据题意知，四边形OAPB是矩形，且BP=1，AP=2．
∵点E、F都在反比例函数y＝
k
x（k＞0）的图象上，
∴E（
k
2，2），F（1，k）．则BE=
k
2，PE=1-
k
2，AF=k，PF=2-k，
∴S_△OEF=S_矩形OAPB-S_△OBE-S_△PEF-S_△OAF
=1×2-
1
2×
k
2×2-
1
2×（1-
k
2）×（2-k）-
1
2×1×k
=-
1
4k²+1；
②当k=2时，由（1）知，△OEF不存在；
③当k＞2时，如图2所示．点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形．

∵PF⊥PE，
∴S_△FPE=
1
2PE•PF=
1
2（
k
2-1）（k-2）=
1
4k²-k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S_△PFE=S_△GEF，
∴S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△GEF-S_△OCE
=
k
2•k-
k
2-（
1
4k²-k+1）-
k
2=
1
4k²-1；

（3）当k＞0时，存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍．理由如下：
①如图1所示，当0＜k＜2时，S_△PEF=
1
2×（1-
k
2）×（2-k）=
(2−k)2
4，
S_△OEF=-
1
4k²+1，
则
(2−k)2
4×2=-