过B作圆O的切线 (1)求证:BF=EF
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 03:19:30
过B作圆O的切线 (1)求证:BF=EF
如图所示,以BC为直径的圆O上的一点,AD垂直BC与点D,过B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB 的延长线相交于点P.(1)求证:BF=EF
(2)求证:PA是圆O的切线
(3)若FG=BF,且半径长3根号2,求BD和FG的长度.
参考图如示
如图所示,以BC为直径的圆O上的一点,AD垂直BC与点D,过B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB 的延长线相交于点P.(1)求证:BF=EF
(2)求证:PA是圆O的切线
(3)若FG=BF,且半径长3根号2,求BD和FG的长度.
参考图如示
证明:
在RtΔCGD和RtΔCFB中
GD=AD/2,BF⊥BC,AD⊥BC
∴ RtΔCGD∽RtΔCFB
(AD/2):BF=CD:BC,即BC:BF=2CD:AD.1)
过D作DH//FA交BF于H,则AD=FH
则 RtΔGHF∽RtΔCBF
BC:BF=BD:FH=BD:AD.2)
比较1)、2) 可得:BD=2CD
又 RtΔCBE∽RtΔCDA
则 AD:BE=CD:BC=CD:(BD+CD)=1:3
即 AD=BE/3
由2)知道,AD:BF=BD:BC=2CD:3CD=2:3,即AD=2BF/3
所以,BE=2BF,即EF=BF
(2)在平行四边形ADHF中,DH=FA
BH=BF-AD,FA^2=BD^2+BH^2=BD^2+(3AD/2-AD)^2=BD^2+AD^2/4
∵ 在RtΔABC中,AD^2=BD*CD=BD^2/2,即,BD^2=2AD^2
∴ FA^2=2AD^2+AD^2/4=9AD^2/4
FA=3AD/2=BF
∵ AF=BF,AO=BO,FO=FO
∴ ΔOBF≌ΔOAF
∴ ∠OBF=∠OAF=90°,OA⊥AF
即,PA是圆O的切线
(3)
若FG=BF,且半径长BO=AO=3√2
则 AD^2+BD^2=FG^2=9AD^2/4
BD=√5AD/2
又 AO^2-(BD-AO)^2=AD^2
(2AO-BD)BD=AD^2
√5AO-5AD/4=AD
AD=(4√5*3√2)/9=4√10/3
所以,BD=(√5/2)AD=2√50/3=10√2/3
FG=3AD/2=2√10
在RtΔCGD和RtΔCFB中
GD=AD/2,BF⊥BC,AD⊥BC
∴ RtΔCGD∽RtΔCFB
(AD/2):BF=CD:BC,即BC:BF=2CD:AD.1)
过D作DH//FA交BF于H,则AD=FH
则 RtΔGHF∽RtΔCBF
BC:BF=BD:FH=BD:AD.2)
比较1)、2) 可得:BD=2CD
又 RtΔCBE∽RtΔCDA
则 AD:BE=CD:BC=CD:(BD+CD)=1:3
即 AD=BE/3
由2)知道,AD:BF=BD:BC=2CD:3CD=2:3,即AD=2BF/3
所以,BE=2BF,即EF=BF
(2)在平行四边形ADHF中,DH=FA
BH=BF-AD,FA^2=BD^2+BH^2=BD^2+(3AD/2-AD)^2=BD^2+AD^2/4
∵ 在RtΔABC中,AD^2=BD*CD=BD^2/2,即,BD^2=2AD^2
∴ FA^2=2AD^2+AD^2/4=9AD^2/4
FA=3AD/2=BF
∵ AF=BF,AO=BO,FO=FO
∴ ΔOBF≌ΔOAF
∴ ∠OBF=∠OAF=90°,OA⊥AF
即,PA是圆O的切线
(3)
若FG=BF,且半径长BO=AO=3√2
则 AD^2+BD^2=FG^2=9AD^2/4
BD=√5AD/2
又 AO^2-(BD-AO)^2=AD^2
(2AO-BD)BD=AD^2
√5AO-5AD/4=AD
AD=(4√5*3√2)/9=4√10/3
所以,BD=(√5/2)AD=2√50/3=10√2/3
FG=3AD/2=2√10
已知:△ABC内接于圆O,过点A作直线EF.若直线AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是圆O的切线.
如图 过圆O的直径AB上两点MN 分别作弦CDEF若CD平行于EF AC=BF 求证:1.弧B
圆O直径AB与弦CD相交于E,且CE=DE.过B作CD的平行线交与AD延长线与F 求证:BF是圆O的切线?
如图,正方形ABCD的对角线AC上取一点E,使AE=CD,过点E作EF丄AC交BC于F,求证:(1)EF=BF;(2)B
如图,AB是定长的线段,圆心O是线段AB的中点,AE、BF为切线,且满足AE=BF,在弧EF上取动点G,过点G作切线AE
如图,以等腰三角形ABC上腰AB为直径作圆O交底边BC于E.过E作EF⊥AC于F.求证:EF为圆O的切线
如图,AB是圆O的直径,过A作圆O的切线,AC=AB,求证:(1)CD是三角形ADE外接圆的切线 (2)AE=CD
已知两曲线A、B外切于一点O,过O作曲线A的切线l 求证:直线l是曲线B过O点的切线
如图,三角形ABC内接于圆O,过点B作直线EF,AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,需要什么条件(3种)
如图,三角形ABC内接于圆O,过点B作直线EF,AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,需要什么条件(3种)
如图,圆O中弦AC,BD交于F,过F作EF//AB,交DC延长线于E,过E点作圆O切线EG,G为切点,求证:EF=EG
如图,圆O中弦AC,BD交于F,过F点作EF//AB,交DC延长线于E,过E点作圆O切线EG,G为切点,求证:EF=EG