在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，CA=CB=CC 1 =2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 11:53:47

解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC₁ 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C₁ （0，0，2），
A C 1 =(0，-2，2)
设G（0，2，h），则
EG =(-1，1，h) ．∵AC₁ ⊥EG，∴
EG •
A C 1 =0 ．
∴-1×0+1×（-2）+2h=0．∴h=1，即G是AA₁ 的中点．
（Ⅱ）设
m =(x，y，z) 是平面EFG的法向量，则
m ⊥
FE ，
m ⊥
EG ．
所以
0×x+1×y+0×z=0
-x+y+z=0. 平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）
∵ sinθ=
|
m •
A C 1 |
|
m |•|
A C 1 | =
2
2 ×2
2 =
1
2 ，
∴ θ=
π
6 ，即AC₁ 与平面EFG所成角θ为
π
6
解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED ∥ BC

∵BC⊥AC，∴ED⊥AC．
又CC₁ ⊥平面ABC，而ED⊂平面ABC，∴CC₁ ⊥ED．
∵CC₁ ∩AC=C，∴ED⊥平面A₁ ACC₁ ．
又∵AC₁ ⊥EG，∴AC₁ ⊥DG．
连接A₁ C，∵AC₁ ⊥A₁ C，∴A₁ C ∥ DG．
∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点．
（Ⅱ）取CC₁ 的中点M，连接GM、FM，则EF ∥ GM，
∴E、F、M、G共面．作C₁ H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB₁ C₁ C，
C₁ H⊂平面BB₁ C₁ C，∴AC⊥G₁ H，又AC ∥ GM，∴GM⊥C₁ H．∵GM∩FM=M，
∴C₁ H⊥平面EFG，设AC₁ 与MG相交于N点，所以∠C₁ NH为直线AC₁ 与平面EFG所成角θ．
因为 C 1 H=
2
2 ， C 1 N=
2 ，∴ sinθ=
2
2
2 =
1
2 ，∴ θ=
π
6 ．

已知直三棱柱ABC-A'B'C'中,角ACB=90度,CB=1,CA=根号3,AA'=根号6,M是CC'的中点,求证BA 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,CB=2,∠ACB=60度,E、F分别是A1C1,BC的中点.问题在下：：：已知直三棱柱ABC-A'B'C'中,角ACB=90度,CB=1,CA=根号3,AA'=根号6,M是CC'的上一点求三棱锥已知直三棱柱ABC—A'B'C',角ACB=90° 角BAC=30° BC=1 AA'=根号下6 M是CC'的中点求证（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1 =2. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,E、F分别是棱A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=AA1,则异已知：直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,侧棱AA1=2,N是棱AA1的中点, 在直三棱柱ABC-A'B'C'中,角BAC=90°,AB=AC=AA'=1,D是CC'上一点在三棱柱ABC-A'B'C'中AA′⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC′=根号2, 如图，直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1 =2，D、E分别再直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1.角ABC=90°,E,F分别是BC,AA1的中点,求证EF平行平面直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=2,CB=CC1=4,E、F、M、N分别是A1B1、AB、C1B1、CB的中点,建