作业帮 > 数学 > 作业

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1 =2.

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 23:52:48
（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1 =2.
（I）证明：AB 1 ⊥BC 1 ；
（II）求点B到平面AB 1 C 1 的距离；
（III）求二面角C 1 —AB 1 —A 1 的大小．
（I）证明见解析
（II）
（III）

（法一）
（1）证：连B 1 C      ∵平面ABC⊥平面BCC 1 B 1
又AC⊥BC  ∴AC⊥面BCC 1 B 1   ∴B 1 C为AB 1 在面BCC 1 B 1 内的射影
又BC=BB 1 ="2"   ∴四边形BCC 1 B 1 为正方形
∴B 1 C ⊥ BC 1    ∴AB 1 ⊥ BC 1    …………………… w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m ……………………………4分
（2）∵BC∥B 1 C 1  
 ∴C到面AB 1 C 1 的距离即为B到面AB 1 C 1 的距离
∵平面A 1 B 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1
又B 1 C 1 ⊥A 1 C 1  ∴B 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1 ∴平面AB 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1
连A 1 C∩AC 1 ="O"
∵四边形ACC 1 A 1 为正方形  ∴CO⊥面AB 1 C 1
∴CO即为所求 ∴CO=  ∴B到面AB 1 C 1 的距离为  ………………………8分
（3）由（2）得 A 1 O⊥面AB 1 C 1  
过O做OE⊥AB 1 于E 连A 1 E   由三垂线定理有A 1 E⊥AB 1
∴∠A 1 EO为二面角C 1 -AB 1 -A 1 的平面角
又在Rt⊿A 1 OE中，A 1 O=    OE=  
∴tan∠A 1 EO=      ∴∠A 1 EO=
∴二面角C 1 -AB 1 -A 1 的大小为        …………………………………………12分
（法二）（1）建立直角坐标系，其中C为坐标原点.
依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B 1 （0，2，2），[来源:学科网]
C 1 （0，0，2），因为 ，所以A B 1 ⊥BC 1 . ……………4分 
（2）设 是平面AB 1 C 1 的法向量，
由 得
所以 令 ，则 ，
因为 ，所以，B到平面AB 1 C 1 的距离为 .… w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m …………8分
（3）设 是平面A 1 AB 1 的法向量.由
 令 =1，
则
因为 所以，二面角C 1 —AB 1 —A 1 的大小为60°… 12分
（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1 =2. 在三棱柱ABC-A'B'C'中AA′⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC′=根号2, 在直三棱柱ABC-A'B'C'中,角BAC=90°,AB=AC=AA'=1,D是CC'上一点 （2009•朝阳区一模）如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是A 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=2，D 是A1B1中点． 已知直三棱柱ABC—A'B'C',角ACB=90° 角BAC=30° BC=1 AA'=根号下6 M是CC'的中点 求证 在三棱柱ABC-A'B'C'中AA′⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC′=根号2,P是BC′上一动点, 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=根号2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的 如图,在体积为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=1 求直线A1B与平面BB1C1C所成的 （2009•朝阳区一模）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱AA′=4，底面三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a,底面ABC为直角三角形，∠ACB=90°,AC=2BC,A1B⊥B1C 1,求 如图3 直三棱柱ABC-A1B1C1中AC=BC=1 ∠ACB=90° AA1=√2 （根号二）D是A1B1中点