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25.已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F. (1

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 18:35:35
25.已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F. (1

)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;

(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.

①猜想验证:如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;

②拓展运用:如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断

1/DM+1/DN

是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

(1)证明:如图1,分别连接OE、0F,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ADC.AO=DC=BC,
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°.
∠ADO=∠ADC=×60°=30°,
又∵E、F分别为DC、CB中点,
∴OE=CD,OF=BC,AO=AD,
∴0E=OF=OA,
∴点O即为△AEF的外心.
①猜想:外心P一定落在直线DB上.
证明:如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,
∴∠PIE=∠PJD=90°,
∵∠ADC=60°,
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,
∵点P是等边△AEF的外心,
∴∠EPA=120°,PE=PA,
∴∠IPJ=∠EPA,
∴∠IPE=∠JPA,
∴△PIE≌△PJA,
∴PI=PJ,
∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上.
②1/DM+1/DN为定值2.
当AE⊥DC时.△AEF面积最小,
此时点E、F分别为DC、CB中点.
连接BD、AC交于点P,由(1)
可得点P即为△AEF的外心.
如图3.设MN交BC于点G,
设DM=x,DN=y(x≠0.y≠O),则CN=y-1,
∵BC∥DA,
∴△GBP≌△MDP.
∴BG=DM=x.
∴CG=1-x
∵BC∥DA,
∴△NCG∽△NDM,
∴CN/DN=CG/DM,
∴(y-1)/y=(1-x)/x,
∴x+y=2xy,
∴1/x+1/y=2,
即1/DM+1/DN=2.
我做过这题
再问: 为什麽 当AE⊥DC时.△AEF面积最小,此时点E、F分别为DC、CB中点
再答: 垂线段最短,高重合,面积最小 先采纳可好?