如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 02:45:01

（1）若取AB的中点M，可证AE=EF，请写出证明过程．
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE=EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，
∵取AB的中点M，点E是边BC的中点，
∴AM=EC=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=∠FCG=45°，
∴∠ECF=180°-∠FCG=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∠AEB+∠MAE=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
即

∠MAE=∠CEF
AM=CE
∠AME=∠ECF
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF，

（2）AE=EF仍然成立，理由如下：
在BA延长线上截取AP=CE，连接PE，则BP=BE，
∵∠B=90°，BP=BE，
∴∠P=45°，
又∠FCE=45°，
∴∠P=∠FCE，
∵∠PAE=90°+∠DAE，∠CEF=90°+∠BEA，
∵AD∥CB，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠PAE=∠CEF，
∴在△APE与△ECF中，

∠P=∠FCE
AP=CE
∠PAE=∠CEF，
∴△APE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．