已知H是G的不变子群,K是G的不变子群,H交K={e},求证:hk=kh

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 06:23:49

已知H是G的不变子群,K是G的不变子群,H交K={e},求证:hk=kh
求详解!

已知H,K都是G的不变子群,且H∩K = {e},求证:对任意h ∈ H,k ∈ K,有hk = kh.
由H是不变子群,h ∈ H,有k^(-1)hk ∈ H.
而H是子群,有h^(-1) ∈ H,进而h^(-1)k^(-1)hk ∈ H.
另一方面,由K是不变子群,k ∈ K,有h^(-1)kh ∈ K.
由K是子群,有h^(-1)k^(-1)h = (h^(-1)kh)^(-1) ∈ K,进而h^(-1)k^(-1)hk ∈ K.
于是h^(-1)k^(-1)hk ∈ H∩K = {e},有h^(-1)k^(-1)hk = e,即hk = kh.
再问：谢谢！有所感悟了

抽象代数证明：设H、K是群G的子群,则（H：H∪K） hK 设有限群G恰好具有两个n阶子群H,K,并且G由H,K生成,证明H,K是G的正规子群群的证明题设K 和H 都是群G 的子群,试证,若H· K 是G 的子群,则K· H =H·K . 设H是群G的子群,证明：对任意的g属于G ,集合K={g＾-1hg|属于H}是G的子群,并证明H与K之间群同构设H,K分别是群G的阶为3,5的子群,证明H∩G={1} 证明：（H,.）和（K,.）是群（G,.）的两个r阶和s阶子群,且r和s互素,则 H∩K ={e}. 设G是群,a是G中一个元素.令 H = { x∈G∣ax = xa }. 试证H是G的一个子群.急! 离散数学（子群）设f和g都是到的群同态,且H={x|x∈G1,f(x)=g(x)},证明H是G1的子群. 若循环群G的阶是n=pq,p、q是素数.其中子群Gp和Gq的生成元分别为g、h,则g*h是G的生成元.以下推出悖论证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H G=是6阶循环群,求G的所有子群试给出两个群H和K,使得H同构于K的一个真子群且K同构于H的一个真子群