已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为23，短轴长为12，直线l与椭圆C交于M、N两点．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/18 08:17:20

已知椭圆C：

（Ⅰ）由椭圆C：
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0）上点到两焦点距离和为
2
3，

得2a＝
2
3，即a=
1
3；
由短轴长为
1
2，得2b=
1
2，即b=
1
4．
∴椭圆C的方程为：9x²+16y²=1．
（Ⅱ）证明：当直线MN⊥x轴时，∵直线MN与圆O：x2+y2＝
1
25相切，
∴直线MN方程为：x=
1
5或x=-
1
5，
当直线方程为x=
1
5，得两点分别为（
1
5，
1
5）和（
1
5，−
1
5），
故

OM•

ON=0，∠MON＝
π
2．
同理当x=-
1
5时，∠MON＝
π
2．
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与圆O：x2+y2＝
1
25的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直线MN与圆O相切得d＝
|b|

k2+1＝
1
5，即25b²=k²+1，①
联立

y＝kx+b
9x2+16y2＝1，得（9+16k²）x²+32kbx+16b²-1=0，
∴△＞0，x1+x2＝−
32kb
9+16k2，x1x2＝
16b2−1
9+16k2，
由

OM•

ON=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2
=
25b2−k2−1
9+16k2，②
由①②，得

OM•

ON=0，即∠MON＝
π
2，
综上，∠MON＝
π
2为定值．
（Ⅲ）不妨设∠XOM=θ，则∠XON=θ±
π
2，
由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），
∵M，N都在9x²+16y²=1上，
∴
1
|OM|2=（9cos²θ+16sin²θ）（9sin²θ+16cos²θ）
=9×16+（9-16）²sin²θcos²θ
=9×16+（9-16）²•
1
4sin²2θ，
又sin²2θ∈[0，1]，故（
1
|OM|•
1
|ON|）²∈[9×16，(
9+16
2)2]，
∴|OM|的取值范围是[
2
25，
1
12]．

（2014•上饶二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，交已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直线l交椭圆C与P，Q两点．（已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直线l交椭圆C与P，Q两点．已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A、B两已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交C于A、B两点，若AB⊥AF 已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆的（2014•江苏模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-3，0），过点F1作一条直线l交已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，F(2，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．已知离心率为63的椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB= 设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在X轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2