四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱都是地面边长的根号2倍,P为侧棱SD上的点.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 14:09:38

四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱都是地面边长的根号2倍,P为侧棱SD上的点.
求若SD垂直平面PAC 求二面角P-AC-D的大小
求在在2的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平行平面PAC,若存在求SE；EC的值

1.
设AB=BC=CD=DA=a
连AC、BD,交于O,
不难知道BD=√2a
∴△SBD为正△
∴∠SDB=∠DSB=π/3
又
∵SD⊥面PAC
∴△POD为RT△,其中∠POD=π/2
∴∠P0D=π/2-π/3=π/6
2.
在△SBD中作BF⊥SD,垂足为F,
在面SCD中作FE‖PC,交SC于E,E为所求,
∵BF⊥SD,OP⊥SD
∴BF‖OP
又
∵FE‖PC
∴面BFE‖面PAC
∴BE‖面PAC.
∵ABCD为正方形
∴OD=√2a/2
在RT△POD中∠P0D=π/6,
∴PD=OD/2=√2a/4,PO=√6a/4,
在RT△PDC中,BC^2=DC^2-PD^2=a^-a^2/8=7a^2/8,
即BC=√14a/4,
在RT△DFB中,DP/DF=PO/FB=DO/DB=1/2
∴DF=2DP=√2a/2
∵在RT△SBF中,∠DSB=π/3
∴SF=SB/2=√2a/2
∴在RT△SPC中,
SF/SP=SE/SC=SE/(√2a)
=(√2a/2)/(√2a-√2a/4)
=2/3
SE/SC=2/3
SE=(2/3)SC=(2/3)√2a=(2√2/3)a