证明在特征为P的有限域F中,映射φ:a|→a∧p,a∈F,是F的一个自同构

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 03:15:12

要证明两个域之间的一个映射是域的同构,只需证明其保持加法,乘法,并且即单又满.
1) 对任意a,b ∈ F,易得:
φ(ab) = (ab)^p = a^p·b^p = φ(a)φ(b),
即φ:F → F保持乘法.
2) 对任意a,b ∈ F,可知:
φ(a+b) = (a+b)^p
= ∑{0 ≤ k ≤ p} C(p,k)·a^(p-k)·b^k (二项式定理,C(p,k)表示p中选k的组合数)
= a^p+b^p (由p是质数,对0 < k < p,有C(p,k) = p!/(k!(p-k)!)是p的倍数)
= φ(a)+φ(b),
即φ:F → F保持加法.
3) 由φ保持加法,证明φ是单射只需验证ker(φ) = {0}.
若φ(a) = 0,即a^p = 0,由F中没有零因子,易得a = 0,即有ker(φ) = {0}.
故φ:F → F是单射.
4) 由φ是单射,其像集im(φ)与F可建立一一对应,又im(φ) ⊆ F,且F是有限集,只有im(φ) = F.
故φ:F → F是满射.
综上,φ:F → F是域的同构,即为F的自同构.

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